Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

138 479 Berechne den Mittelwert der Funktion f mit f(t) =   1 _ 4 t 2 + 1 im Intervall [1; 5]. Der Mittelwert von f im Intervall [1; 5] ist   1 _  5 – 1 :  1   5 2    1 _ 4 t 2 + 1  3 dt=   1 _ 4   2    1 _  4 ·  t 3 _ 3 + t  3   1  1   5 =   1 _ 4 2  2    1 _  4 ·  5 3 _ 3  + 5  3 – 2    1 _  4 ·  1 3 _  3 + 1  3   3 =   43 _ 12 = 3,58. 480 Ermittle den Mittelwert der Polynomfunktion f im gegebenen Intervall. a. f(x) =   1 _ 2 x 2 +   1 _ 4 ; [0; 4] c. f(x) = x 3 + 2x; [0; 8] e. f(x) =   1 _ 3 x 3 – 2x 2 + x + 15; [‒1; 5] b. f(x) = ‒   1 _ 4 x 2 + 8; [1; 3] d. f(x) = ‒ x 2 + 4; [0; 4] f. f(x) =   1 _ 4 x 3 – x 2 + x + 5; [‒ 2; 3] 481 In der Tabelle sind alle Tage einer Kalenderwoche erfasst, in der sich der Kontostand verändert hat. a. Berechne, welcher Betrag sich während dieser Woche durchschnittlich pro Tag auf diesem Konto befand. b. Stelle die Tabelle durch ein Diagramm dar. Zeichne auch den durchschnittlichen Kontostand ein. 482 In der Tabelle sind alle Tage eines Monats mit 30 Tagen erfasst, an denen sich der Kontostand verändert hat. a. Berechne den durchschnittlichen Kontostand während dieses Monats. b. Stelle die Tabelle durch ein Diagramm dar. Zeichne auch den durchschnittlichen Kontostand ein. 483 Im Diagramm sind die Füllstände zweier Regenwassertonnen an zwei unterschiedlichen Tagen beschrieben (blau und rot). Diskutiert, in welcher Regentonne im Schnitt mehr Wasser war. Begründet eure Entscheidung. 484 Die Beschleunigung eines ferngesteuerten Autos lässt sich während der ersten Sekunden seiner Fahrt durch die Funktion a mit a(t) = ‒   1 _  25 t 2 +   2 _ 5 t beschreiben. Berechne die Durchschnitts geschwindigkeit dieses Autos während der ersten 6 Sekunden. Wir erhalten die Geschwindigkeitsfunktion v als v = :    2 ‒   1 _  25 t 2 +   2 _ 5 t  3 dt = ‒   1 _  75 t 3 +   1 _ 5 t 2 + c. Da die Geschwindigkeit am Start 0m/s ist, ist c = 0 und v(t) = ‒   1 _  75 t 3 +   1 _ 5 t 2 . Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [0; 6] ist demnach _ v=   1 _  6 – 0  · :  0   6 2 ‒   1 _  75 t 3 +   1 _ 5 t 2   3 dt=   1 _  6 ·   2  ‒   1 _  300 t 4 +   1 _  15 t 3   3   1  0   6 =   1 _ 6 ·(10,08 – 0) = 1,68. Die Durchschnittsgeschwindigkeit während der ersten 6 Sekunden beträgt 1,68m/s. 485 Die Beschleunigung eines Fahrzeuges lässt sich während der ersten t Sekunden seiner Fahrt durch die Funktion a mit a(t) = ‒   1 _ 5 t 2 +   8 _ 5 t beschreiben. a. Ermittle die Geschwindigkeitsfunktion des Fahrzeuges, wenn es zum Zeitpunkt 0 aus dem Stillstand heraus gestartet ist. b. Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeuges während der ersten acht Fahrsekunden. B Mittelwert einer Funktion in einem Intervall berechnen ggb/tns f829r9 : B A, B Tag Kontostand Montag 4738€ Mittwoch 2345€ Freitag 1 972€ , A, B , Tag Kontostand 1 3791€ 8 1112€ 15 5484€ 22 3687€ 26 2791€ Zeit in min Inhalt in l 0 100 400 500 600 200 300 0 100 200 400 300 , C, D Durchschnitts geschwindigkeit mit dem Integral berechnen A, B B, C , Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv