Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

137 Mittelwertberechnung Am 1. Mai befanden sich auf Lukas Sparbuch 1 280€. Am 11. Mai zahlte er 200€ ein, am 28. Mai hob er 540€ ab. Mehr Einund Auszahlungen fanden im Monat Mai nicht statt. Welcher Betrag befand sich durchschnittlich auf Lukas Sparbuch? Wir können das Guthaben auf Lukas Sparbuch in einer Tabelle oder einem Diagramm darstellen: Datum Guthaben 1. Mai 1 280€ 11. Mai 1 480€ 28. Mai 940€ Um herauszufinden, welcher Betrag sich durchschnittlich auf Lukas Sparbuch befand, können wir nicht einfach den arithmetischen Mittelwert   1280€ + 1480€ + 940€ ____ 3  = 1 233,33€ berechnen, da wir dabei nicht berücksichtigen, wie lange der jeweilige Betrag auf dem Sparbuch gelegen ist. Es waren 10 Tage lang 1 280€ (1. bis 10. Mai), 17 Tage lang 1 480€ (11. bis 27. Mai) und die restlichen 4 Tage 940€ (28. bis 31. Mai). Daher ist das durchschnittliche Guthaben im Monat Mai   1280€·10 + 1480€·17 + 940€·4 _____  31  = 1 345,81€. Die Summe 1 280·10 + 1 480·17 + 940·4 kann man dabei auch als Inhalt der Fläche zwischen der Funktion G, die jedem Tag t des Monats Mai das Guthaben G(t) am Tag t zuordnet, und der tAchse deuten. Dieser Flächeninhalt entspricht wiederum dem bestimmten Integral :  0   31 G(t) dt. Somit ist das durchschnittliche Guthaben im Monat Mai   1 _  31 ·  :  0   31     G(t) dt= 1 345,81€. Der Mittelwert einer Funktion f auf dem Intervall [a; b] ist _ f=   1 _  b – a · :  a   b f(x) dx . Wenn f im Intervall [a; b] keine negativen oder keine positiven Funktionswerte hat, so ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [a; b] gleich dem Flächenin halt des Rechtecks mit der Breite (b – a) und der Höhe _ f. Tag Euro 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1280 € 1480 € 940 € Tag Euro 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1280 ∙ 10 = 12800 1480 ∙ 17 = 25160 940 ∙ 4 = 3760 1280 € 1480 € 940 € Mittelwert einer Funktion auf [a; b] x y 0 a b f f 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv