Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

136 474 Die Geschwindigkeit eines Motorrads wurde in einem Diagramm aufgezeichnet. a. Finde eine Funktion, die die Geschwindigkeit des Motorrads in km/h in den ersten 30 s annähernd beschreibt. Wähle dafür eine Funktion v für beschränktes Wachstum vom Typ v(t) = K·(1 – c·a t ). b. Ändere die in Aufgabe a. gefundene Funktion so ab, dass die zum Zeitpunkt t berechnete Geschwindigkeit in m/s angegeben wird. Verwende für die weiteren Berechnungen die Funktion v mit v(t) = 55·(1 – 0,85 t ). c. Ermittle daraus die Funktion s, die jedem Zeitpunkt t den zurückgelegten Weg des Motorrads in Meter zuordnet. Achte dabei darauf, dass s(0) = 0 ist. d. Berechne, wie lange das Motorrad braucht, um 200m zurückzulegen. 475 Sucht mithilfe des Internets mit dem Stichwort „Beschleunigungsdiagramme” Geschwindigkeits­ verläufe von verschiedenen Fahrzeugen. Wählt mindestens drei verschiedene aus und vergleicht dann, wie lange die Fahrzeuge brauchen, um jeweils einen Weg von 100m zurückzulegen. 476 Ein PKW hat auf trockenem Asphalt eine Bremsverzögerung von 7m/s 2 . Das bedeutet, dass seine Geschwindigkeit pro Sekunde um 7m/s reduziert wird. Ein PKW fährt mit 90 km/h, als er zum Zeitpunkt t = 0 zu bremsen beginnt. a. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit (im m/s) zuordnet. b. Berechne, wie lange es dauert, bis der PKW zum Stillstand kommt. c. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges. a. 90 km/h = ​  90 _ 3,6 ​m/s = 25m/s. Für t º 0 ist v(t) = 25 – 7t. b. Der PKW kommt zur Zeit t zum Stillstand, wenn v(t) = 0 ist. Aus 25 – 7t = 0 erhalten wir t = ​  25 _ 7  ​≈ 3,6 s. c. Der im Zeitintervall ​ 4 0; ​  25 _ 7  ​  5 ​zurückgelegte Weg ist ​ :  0 ​  ​  25 _  7  ​ ​ (25 – 7t) dt​= 25t – ​  7t 2 _ 2  ​ ​ 1 ​ 0 ​  ​  25 _ 7  ​ ​= 44,64. Der Bremsweg beträgt 44,64m. 477 Straßenbahnen haben bei trockenem Wetter eine Bremsverzögerung von 2,5m/s 2 . Eine Straßenbahn bremst bei einer Ausgangsgeschwindigkeit von 36 km/h. a. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit der Straßen­ bahn (in m/s) zuordnet. b. Berechne, wie lange es dauert, bis die Straßenbahn zum Stillstand kommt. c. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges. 478 Ein PKW fährt mit 108 km/h auf einer regennassen Autobahn. Als vor ihm ein Hindernis auftaucht, bremst er mit einer Bremsverzögerung von 6m/s 2 . a. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit (in m/s) zuordnet. b. Berechne, wie lange es dauert, bis der PKW zum Stillstand kommt. c. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges. d. Bestimme, wie lange der tatsächliche Anhalteweg ist, wenn man annimmt, dass der PKW während der Reaktionszeit des Fahrers noch eine Sekunde lang mit unveränderter Geschwindigkeit weiterfährt, bevor der tatsächliche Bremsvorgang einsetzt. Geschwindigkeit in km/h Zeit in s 160 200 240 10 20 30 40 0 40 0 80 120 v A, B ; C ; A, B den Bremsweg berechnen A, B , A, B , Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv