Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

135 470 Die Beschleunigung eines PKW t Sekunden nach dem Start wird durch die Funktion a mit a(t) = 3,6·0,905 t beschrieben. Zum Zeitpunkt 0 s ist seine Geschwindigkeit 0m/s. a. Berechne die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit in m/s zuordnet. b. Berechne die Funktion s, die jedem Zeitpunkt t den zurückgelegten Weg in m zuordnet. a. Die Funktion v ist eine Stammfunktion von a, wobei v(0) = 0 ist. v = ​ :  ​  ​ 3,6·0,905 t ​dt​, also ist v(t) = 3,6·​  0,905 t __  ln(0,905) ​+ c = 3,6·​  ​0,905​ t​ ​ _ ‒0,1  ​+ c = ‒36·0,905 t + c. Aus v(0) = ‒ 36 + c = 0 erhalten wir c = 36. Daher ist die gesuchte Funktion v mit v(t) = ‒ 36·0,905 t + 36. b. Die Funktion s ist eine Stammfunktion von v, wobei s(0) = 0 ist. s = ​ :  ​  ​ (‒ 36·0,905 t + 36) dt​, also ist s(t) = ‒ 36·​  0,905 t ​ _ ‒0,1  ​+ 36t + c = 360·0,905 t + 36t + c. Aus s(0) = 360 + c = 0 erhalten wir c = ‒ 360. Daher ist die gesuchte Funktion s mit s(t) = ‒ 360·0,905 t + 36t – 360. 471 Die Beschleunigung eines Autos zur Zeit t Sekunden ist a(t) = ‒ 0,009t 3 + 0,11t 2 + 0,763tm/s 2 . a. Ermittle die Geschwindigkeitsfunktion v, die jedem Zeitpunkt t > 0 die Geschwindigkeit in m/s zuordnet, wenn das Auto zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit 0m/s hat. b. Bestimme die Wegfunktion s, die jedem Zeitpunkt t > 0 den insgesamt zurückgelegten Weg in Meter zuordnet. c. Ermittle, welchen Weg das Auto nach 10 s zurückgelegt hat. 472 In seiner Ausbildung zum Astronauten wird Herbert in einen Raketenschlitten gesetzt, dessen Beschleunigung nach t Sekunden gleich a(t) = 0,2t 3 – 6t 2 + 40t m/s 2 ist. Der Raketenschlitten beginnt seine Fahrt mit 0m/s, beschleunigt danach und wird schließlich wieder langsamer, bis seine Geschwindigkeit wieder 0m/s beträgt. a. Berechne die Geschwindigkeitsfunktion v und die Wegfunktion s. b. Berechne, wie lange die Fahrt im Raketenschlitten dauert. c. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt der Schlitten seine maximale Geschwindigkeit erreicht und gib die maximale Geschwindigkeit an. d. Bestimme die maximale positive und die maximale negative Beschleunigung, der Herbert auf seiner Fahrt ausgesetzt ist. Zu welchem Zeitpunkt tritt sie jeweils ein? e. Berechne, welchen Weg Herbert auf seiner Fahrt mit dem Raketenschlitten insgesamt zurück legt. 473 Die Beschleunigung eines Zeitfahrers zum Zeitpunkt t Sekunden nach dem Start bei einem Bahnradrennen kann annähernd durch die Funktion a mit a(t) = 9t 2 ·0,368 t angegeben werden. Verwende zum Auffinden der Stammfunktionen eine geeignete Technologie. a. Berechne, zu welchem Zeitpunkt das Rennrad die maximale Beschleunigung erreicht, und gib die maximale Beschleunigung in m/s 2 an. b. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit in m/s zuordnet. Dabei soll v(0) = 0 sein. c. Gib die Funktion s an, die jedem Zeitpunkt t den bislang zurückgelegten Weg in m zuordnet. Dabei soll s(0) = 0 sein. d. Ermittle aus deinem Resultat von Aufgabe c. , wie lange der Radrennfahrer für seinen ersten Kilometer benötigt. Berechne seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Strecke. A, B Geschwindigkeit und Weg aus der Beschleunigung berechnen , A, B A, B ; A, B ; 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv