Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

134 Bewegungsaufgaben Anton liest in der Beschreibung eines Autos, dass dieses innerhalb von 7 Sekunden von 0 km/h auf 100 km/h beschleunigt. Welchen Weg legt das Auto während des Beschleunigungsvorgangs zurück? Weil wir keine näheren Angaben über den Beschleunigungs vorgang haben, nehmen wir vereinfachend an, dass die Beschleunigung während der 7 Sekunden konstant bleibt. Wir rechnen zunächst die km/h in m/s um: 100 km/h =   100 _ 3,6 m/s ≈ 27,78m/s. Das Auto beschleunigt also in 7s von 0m/s auf 27,78m/s. Das entspricht einer Beschleunigung von   27,78m/s __ 7s  ≈ 3,97m/s 2 . Die Beschleunigungsfunktion ist die konstante Funktion a mit a(t) = 3,97. Wir wissen bereits, dass a = v’ ist, also ist v = :    a(t)dt eine Stammfunktion von a, also v(t) = 3,97t + c. Da die Geschwindigkeit anfangs 0 km/h bzw. 0m/s war, ist v(0) = 0 und somit c = 0. Da v = s’ ist, ist s eine Stammfunktion von v. Den Weg, den das Auto zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = 7 zurücklegt, erhalten wir daher mithilfe des bestimmten Integrals s(7) – s(0) = :  0   7 v(t)dt = :  0   7 3,97tdt = 1,985 t 2   1 0   7 = 1,985·7 2 – 0 = 97,265 – 0 = 97,265. Das Auto legt also während des Beschleunigungsvorganges ca. 97m zurück. Es ist a(t) die Beschleunigung, v(t) die Geschwindigkeit und s(t) die Entfernung vom Ausgangs punkt zum Zeitpunkt t. Dann ist v eine Stammfunktion von a und s eine Stammfunktion von v: v = :    a(t) dt und s = :    v(t) dt . Der zwischen den beiden Zeitpunkten t 1 und t 2 zurückgelegte Weg ist s(t 2 ) – s(t 1 ) = :  t 1   t 2 v(t) dt und entspricht im ZeitWegDiagramm dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Geschwindigkeitsfunktion v und der Zeitachse über dem Intervall [t 1 ; t 2 ]. 468 Ein PKW beschleunigt von 0 km/h auf 100 km/h in 8 s. Wir nehmen dabei vereinfachend an, dass die Beschleunigung während dieser Zeitspanne konstant ist. a. Gib die Beschleunigung in m/s 2 an. b. Berechne, welchen Weg das Auto während dieser 8 s zurücklegt. 469 Ein Leichtathlet tritt im 100mSprint gegen einen Kleinwagen an. Wir nehmen an, dass der Leichtathlet mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10m/s läuft und der Kleinwagen innerhalb von 10 Sekunden gleich mäßig von 0 km/h auf 100 km/h beschleunigt. a. Gib die Beschleunigung des Kleinwagens in m/s 2 an. b. Finde durch Integrieren die Funktion s, die der Zahl t den vom Kleinwagen innerhalb von t Sekunden nach dem Start zurückgelegten Weg s(t) zuordnet. c. Ermittle die Zeit des Siegers dieses Wettrennens. d. Berechne, wie viel Meter der Zweitplatzierte zu diesem Zeitpunkt noch vom Ziel entfernt ist. Beschleunigung Geschwindigkeit Weg t v(t) 0 t 1 t 2 v zurückgelegter Weg A, B , A, B ; Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv