Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

131 456 Neben einer Autobahn soll ein Lärm schutzwall aufgeschüttet werden, dessen Querschnittsprofil in der Zeichnung dargestellt ist. Die Längen einheit im Koordinatensystem ist dabei Meter. Das Querschnittsprofil wird vom Graphen der Polynom funktion f mit f(x) = ‒   x 3 _  9  –   4x 2 _  3  – 4x über dem Intervall [‒6; 0] erzeugt. a. Berechne die Höhe des Lärmschutzwalls. b. Ermittle die Breite des Lärmschutzwalls in einer Höhe von 2m. c. Berechne die Querschnittsfläche des Lärmschutzwalls. d. Berechne, wie viel Kubikmeter Erde erforderlich sind, um diesen Lärmschutzwall auf einer Länge von 800m aufzuschütten. 457 Stelle die Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,5x 3 – x 2 – 2,5x + 3 und der xAchse eingeschlossen wird, graphisch dar und berechne ihren Flächeninhalt. Mit einer geeigneter Technologie berechnen wir die Nullstellen von f: ‒ 2, 1 und 3. Die Fläche erstreckt sich daher über dem Intervall [‒2; 3] und zerfällt in zwei Teilflächen, die wir einzeln berechnen müssen. Eine Stammfunktion von f ist F mit F(x) = 0,125x 4 –   1 _ 3 x 3 – 1,25x 2 + 3x. Die Inhalte der zwei Teilflächen sind somit A 1 = † F(1) – F(‒ 2) † = |    37 _ 24 – 2  ‒   19 _ 3    3   | = |    63 _ 8    | = 7,875 und A 2 = † F(3) – F(1) † = |  ‒   9 _  8 –   37 _ 24   | = |  ‒   8 _ 3   | =   8 _  3 ≈ 2,667. Der gesamte Flächeninhalt ist A = A 1 + A 2 = 10,542. 458 Der Graph der Funktion f und die xAchse schließen eine Fläche ein. Stelle diese Fläche graphisch dar und berechne ihren Flächeninhalt. a. f(x) = ‒ x 2 – 2x + 15 b. f(x) = 0,05x 3 – 0,3x 2 – 0,95x + 4,2 c. f(x) = ‒ 0,15x 3 + 1,2x 2 – 1,35x – 2,7 459 Berechne den Flächeninhalt der vom Graphen der Funktion f und der xAchse eingeschlossenen Fläche. a. f(x) = x 3 – 3x 2 – x + 3 b. f(x) = x 3 – 2x 2 – 8x c. f(x) = x 3 + 8x 2 + 17x + 10 460 Die Funktion f ist durch ihren Graphen gegeben. Entscheide, ob das angegebene bestimmte Inte gral positiv oder negativ ist. a. :  ‒5   3 f(t) dt c.   :  15   18     f(t) dt e. :  ‒5   7 f(t) dt b. :  3   7 f(t) dt d.   :  7   13     f(t) dt f.   :  7   20   f(t) dt , A, B x y 0 1 1 2 4 3 3 2 1 3 2 4 5 7 6 1 Lärmschutzwall Autobahn f ggb 53k2v6 eine zusammen gesetzte Fläche berechnen B x y 0 3 2 1 1 2 4 3 3 2 1 1 2 3 4 A 1 A 2 f B , B , C , x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 6 4 2 0 2 4 4 2 6 f 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv