Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

129 Wir erweitern nun den Begriff „Flächeninhalt“ auf Funktionen, deren Funktionswerte auf dem Intervall [a; b] alle kleiner oder gleich 0 sind. Ist f: [a; b] ¥ R eine Funktion, die eine Stammfunktion F hat, und ist f º 0 oder f ª 0, dann nennen wir :  a   b f(t) dt= F(b) – F(a) den orientierten Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. Ist für alle x * [a; b] f(x) º 0, so ist :  a   b f(t) dtº 0. Ist für alle x * [a; b] f(x) ª 0, so ist :  a   b f(t) dtª 0. Der Betrag des orientierten Flächeninhaltes |  :  a   b f(t) dt  | = † F(b) – F(a) † heißt Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. Tipp Wenn die Funktion f positive und negative Funktionswerte hat, aber der Definitionsbereich in Teilintervalle zerlegt werden kann, auf denen f keine negativen oder keine positiven Funktions werte hat, so zerfällt die Fläche zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f in Teil flächen, die zur Gänze „unter oder über der xAchse“ liegen. In diesem Fall ist der Inhalt der Fläche zwischen [a; b] und dem Graphen von f die Summe der Flächeninhalte dieser Teilflächen. Beispiel: Der Flächeninhalt der blauen Fläche in der abgebildeten Grafik ist |  :  a   c f(x) dx  | + |  :  c   b f(x) dx  | = A 1 + A 2 GeoGebra Integral[ <Funktion> , <Startwert> , <Endwert> ] TI Nspire integral( Ausdr , Var , UntGrenze , ObGrenze ) 447 Berechne das bestimmte Integral :  ‒3   6 (4x 2 – 5x + 1) dx. Eine Stammfunktion von f mit f(x) = 4x 2 – 5x + 1 ist F mit F(x) =   4 _ 3 x 3 –   5 _ 2 x 2 + x. Da F(6) = 204 und F(‒ 3) = ‒ 61,5 ist, erhalten wir :  ‒3   6 (4x 2 – 5x + 1) dx= F(6) – F(‒ 3) = 204 – (‒61,5) = 265,5. Wir können das auch schreiben als :  ‒3   6 (4x 2 – 5x + 1) dx=   4 _ 3 x 3 –   5 _ 2 x 2 + x  1 ‒3   6 = 204 – (‒61,5) = 265,5. orientierter Flächeninhalt + x y 0 a b f – x y 0 a b f A 1 A 2 x y 0 c b a f das bestimmte Integral berechnen ggb/tns 54gf54 ein bestimmtes Integral berechnen B 4.2 Das bestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv