Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

126 GeoGebra Untersumme[ <Funktion> , <Startwert> , <Endwert> , <Anzahl der Rechtecke> ] Obersumme[ <Funktion> , <Startwert> , <Endwert> , <Anzahl der Rechtecke> ] Der gesuchte Flächeninhalt in unserem Beispiel muss zwischen jeder seiner Unterund Ober­ summen liegen. Also liegt er jedenfalls zwischen 9 und 16,2 Flächeneinheiten. Wir können diese Methode verfeinern, indem wir die Breite der verwendeten Rechtecke kleiner machen. Die folgende Tabelle enthält die Berechnung für acht Rechtecke mit der Breite 0,5: Rechteck Nr. Untersumme Obersumme Höhe Breite Flächeninh. Höhe Breite Flächeninh. 1 0,3 0,5 0,15 0,675 0,5 0,3375 2 0,675 0,5 0,3375 1,2 0,5 0,6 3 1,2 0,5 0,6 1,875 0,5 0,9375 4 1,875 0,5 0,9375 2,7 0,5 1,35 5 2,7 0,5 1,35 3,675 0,5 1,8375 6 3,675 0,5 1,8375 4,8 0,5 2,4 7 4,8 0,5 2,4 6,075 0,5 3,0375 8 6,075 0,5 3,0375 7,5 0,5 3,75 Summe: 10,65 Summe: 14,25 Daher liegt der Flächeninhalt zwischen 10,65 und 14,25. Diese Berechnungen lassen sich beliebig verfeinern. Bei 40 Streifen der Breite 0,1 erhält man als Untersumme 12,042 und als Obersumme von 12,762, wodurch der gesuchte Flächeninhalt schon gut eingegrenzt ist. Man kann zeigen: Wenn f stückweise stetig (das heißt: der Definitionsbereich von f kann in endlich viele Intervalle zerlegt werden, auf welchen f stetig ist) und beschränkt (das heißt: es gibt eine konstante Funktion c mit 0 ª f ª c) ist, dann gibt es genau eine reelle Zahl, die kleiner oder gleich wie alle Obersummen und größer oder gleich wie alle Untersummen von f ist. Diese Zahl ist der Flächeninhalt (in Flächeneinheiten) der Fläche zwischen [a; b] und dem Graphen von f. Tipp Jede stetige Funktion ist auch stückweise stetig. Treppenfunktionen sind stückweise stetig und beschränkt. Die Funktion f mit f(x) = 1/x ist auf (0;1] stetig, aber nicht beschränkt. Unterund Obersummen zeichnen und berechnen  ggb rt5s3e  tns c5pj99 Untersumme x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f Obersumme x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f Untersumme x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f Obersumme x y 2 1 0 3 4 5 2 0 4 6 8 f Flächeninhalt Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv