Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

124 4.2 Das bestimmte Integral Ich lerne das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe von Produkten zu interpretieren. Ich lerne das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt zu deuten und damit Berechnungen durchzuführen. Ich lerne mithilfe des bestimmten Integrals Bewegungsaufgaben zu lösen. Ich lerne mithilfe des bestimmten Integrals den mittleren Funktionswert auf einem Intervall zu bestimmen. Untersummen und Obersummen Den Inhalt einer Fläche zu berechnen heißt, sie mit einem Einheitsquadrat zu vergleichen. Das haben wir bereits für Rechtecke, Dreiecke und Trapeze kennengelernt. Wir betrachten jetzt Flächen zwischen einem Intervall [a; b] der x-Achse und dem Graphen einer Funktion f. Dabei nehmen wir an, dass auf beiden Koordinatenachsen dieselbe Längeneinheit (zum Beispiel cm) gewählt wurde und geben im Weiteren alle Flächeninhalte bezüglich der entsprechenden Flächeninhaltseinheiten (zum Beispiel cm 2  ) an. Zuerst nehmen wir an, dass f im Intervall [a; b] keine negativen Funktionswerte hat. Wenn die Funktion f konstant oder linear ist, ist der Inhalt dieser Flächen leicht zu berechnen: Ist f mit f(x) = c die konstante Funktion und c > 0, dann ist diese Fläche ein Rechteck mit Seitenlängen c und b – a. Sein Flächen­ inhalt ist daher c·(b – a). Wenn die Funktion f „stückweise konstant“ ist (das heißt, wir können ihren Definitionsbereich so in Intervalle zerlegen, dass sie auf jedem dieser Intervalle konstant ist), dann können wir diesen Flächeninhalt auch sehr leicht berechnen. Anstatt den Flä­ cheninhalt eines Rechteckes zu berechnen, berechnen wir die Flächeninhalte mehrerer Recht­ ecke und summieren diese. Gegeben sind Zahlen a = x 0 < x 1 < … < x n – 1 < x n = b und reelle Zahlen c 1  , …, c n  . Eine „stückweise konstante“ Funktion f von [a; b] nach R mit f(a) = c 1  und f(x) = c i , wenn x * (x i – 1  ; x i ] heißt Treppenfunktion auf dem Intervall [a; b]. Sind die Zahlen c 1  , …, c n nicht negativ, dann ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Intervall [a; b] und der Treppenfunktion die Summe der Flächeninhalte von n Rechtecken, also gleich (x 1 – x 0 )·c 1 + (x 2 – x 1 )·c 2 + … + (x n – x n – 1 )·c n = ​ ;  k = 1 ​  n ​ c​ k ​·(​x​ k ​– ​x​ k – 1  ​)​= ​ ;  k = 1 ​  n ​ f(​x​ k  ​)·(​x​ k ​– ​x​ k – 1  ​). Beispiel: f: [‒1; 4] ¥ R , f(x) = In unserem Beispiel ist der Flächeninhalt daher (1 – (‒1))·1 + (1,5 – 1)·3 + (2 – 1,5)·2 + (3 – 2)·5 + (4 – 3)·1,5 = 2·1 + 0,5·3 + 0,5·2 + 1· 5 + 1·1,5 = 11. c ∙ (b – a) x y 0 a b c b – a f(x) = c Treppen­ funktion Flächeninhalt unter einer Treppen­ funktion x y 1 2 1 0 3 4 1 2 3 4 5 f { 1 für ‒1 ª x ª 1 3 für 1 < x ª 1,5 2 für 1,5 < x ª 2 5 für 2 < x ª 3 1,5 für 3 < x ª 4 Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv