Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

122 425 Berechne das unbestimmte Integral. a. :    2    1 _  z 4 –   4 _  z 3 +   1 _  4z    3 dz b. :    3 9 __ x 2 dx a. :    2    1 _  z 4 –   4 _  z 3 +   1 _  4z   3 dz= :    2  z ‒4 – 4z ‒3 +   1 _ 4 z ‒1   3 dz= ‒   1 _  3 z ‒3 –   4 _  ‒2 z ‒2 +   1 _ 4 ln(z) = ‒   1 _  3z 3 +   2 _  z 2 +   1 _ 4 ln(z) + c b. :    3 9 __ x 2 dx= :    x   2 _ 3 dx=   1 _    2 _ 3 + 1 x   2 _ 3 + 1 + c =   3 _ 5 x   5 _ 3 + c =   3 _  5 · 3 9 __ x 5  + c 426 Berechne das unbestimmte Integral. a. :    x ‒2 dx c. :    1 _  x 2 dx e. :    8 _  z 5 dz g. :    1 _  5x dx b. :    4x ‒3 dx d. :    1 _  z 7 dz f. :    3 _ t dt h. :    ‒   2 _  3x 3 dx 427 Ordne den Funktionen die richtige Stammfunktion zu. a. f(x) =   3 _  x 2 A F(x) = ‒   3 _ x B F(x) = 3·ln(x) 2 b. f(x) = ‒   2 _  x 3 C F(x) = ‒   8 _  x 4 D F(x) =   1 _  x 2 428 Berechne das unbestimmte Integral. a. :    2    1 _  x 3 +   3 _  x 2 + 4  3 dx b. :    2    10 _  x 6 –   4 _  x 5 +   2 _ x   3 dx c. :    2  ‒   2 _  3x 5 +   4 _  5x 3 –   1 _  3x  3 dx 429 Berechne das unbestimmte Integral. a. :    x   1 _  3 dx c. :    9 _ xdx e. :    4 9 __ z 3 dz g. :    1 _  3 9 _ x dx b. :    4x   3 _ 5 dx d. :    4 9 _ zdz f. :    t ‒  1 _ 2 dt h. :    1 _  4 9 __ x 3   dx Stammfunktionen von Exponentialfunktionen Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e, also der Funktion f mit f(x) = e x , ist die Expo nentialfunktion selbst, also f’ mit f’(x) = e x . Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a, also der Funktion g mit g(x) = a x , ist die Funkti on g’ mit g’(x) = a x ·ln(a). Die Ableitung der Funktion h mit h(x) =   1 _ k ·e k·x ist die Funktion h’ mit h’(x) =   1 _  k ·e k·x ·k = e k·x . Daher gilt: :    e x dx= e x + c , das heißt, die Exponentialfunktion zur Basis e ist eine Stammfunktion von sich selbst. :    a x dx=   1 _  ln(a)  ·a x + c (a > 0), das heißt, das   1 _  ln(a) Fache der Exponentialfunktion zur Basis a > 0 ist eine Stammfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a. :    e k·x dx=   1 _  k ·e k·x + c . Beispiel: :    e 3x dx=   1 _ 3 e 3x + c tns ix6b8z ein unbestimmtes Integral berechnen B B ; B ; B ; B ; Stamm funktionen der Exponential funktion Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv