Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

121 Für zwei Funktionen f und g und eine reelle Zahl k ist :    (f + g)(x) dx= :    f(x) dx+ :    g(x) dx+ c (in Worten: Die Summe von Stammfunktionen von f und g ist eine Stammfunktion der Summe von f und g). :    (k·f)(x) dx= k· :    f(x) dx+ c (in Worten: Das kFache einer Stammfunktion von f ist eine Stammfunktion des kFachen von f). Aus der Faktorund Summenregel folgt unmittelbar: Für reelle Zahlen a 0 , …, a n ist :    a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 dx=   1 _  n + 1 a n x n + 1 +   1 _ n a n – 1 x n + … +   1 _ 2 a 1 x 2 + a 0 x + c. 418 Berechne das unbestimmte Integral :    (t 2 – 4t + 1) dt. :    (t 2 – 4t + 1) dt=   1 _ 3 t 3 –   4 _ 2 t 2 + t + c =   1 _ 3 t 3 – 2 t 2 + t + c 419 Berechne das unbestimmte Integral. a. :    (3x 2 – 8x + 3) dx c. :    (6x 3 – 9x 2 + 5x – 2) dx e. :    (t 4 + 8 t 2 – t + 7) dt b. :    (6x 2 + 5x – 2) dx d. :    (‒ 8 t 3 + 6 t 2 – 4t + 1) dt f. :    (3z 4 + z 3 – 7z 2 + z) dz 420 Berechne eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 4x 2 – 5x + 2, deren Graph den Punkt P = (3 1 11) enthält. Die Stammfunktionen von f sind F = :    (4x 2 – 5x + 2) dx=   4 _ 3 x 3 – 2,5x 2 + 2x + c. Weil der Graph von F den Punkt P enthält, muss F(3) = 11 sein. F(3) =   4 _  3 ·3 3 – 2,5·3 2 + 2·3 + c = 19,5 + c Also ist 19,5 + c = 11 c = ‒ 8,5. Die gesuchte Stammfunktion ist F mit F(x) =   4 _ 3 x 3 – 2,5x 2 + 2x – 8,5. 421 Berechne eine Stammfunktion der Polynomfunktion f so, dass der Punkt P auf dem Graphen der Stammfunktion liegt. a. f(x) = x; P = (2 1 ‒1) b. f(x) = 5; P = (1 1 6) c. f(x) =   1 _ 3 x 2 ; P = (1 1 ‒1) d. f(x) = x 3 ; P = (0 1 1) 422 Berechne eine Stammfunktion von f mit f(x) = 2x 2 + x + 4, die an der Stelle 0 den Funktionswert 5 hat. 423 Berechne eine Stammfunktion F der Polynomfunktion f, die an der Stelle a den Funktionswert F(a) hat. a. f(x) = 3; F(0) = 2 c. f(x) = x 2 +   1 _ 2 x; F(1) = 3 e. f(x) = 7x 2 + 2x +   1 _ 2 ; F(0) = 5 b. f(x) = 2x; F(‒1) = 4 d. f(x) =   1 _ 3 x 2 + 2x; F(5) = ‒1 f. f(x) =   1 _ 4 x 3 + 2x 2 + x; F(2) = 0 424 Ordne den Funktionen f die passende Stammfunktion F, die an der Stelle a den Wert F(a) hat, zu. a. f mit f(x) = 3x 2 + 2, F(0) = 3 A F mit F(x) = x 3 + 2x + 3 B F mit F(x) = 3x 2 + 2x – 5 b. f mit f(x) = 6x + 2, F(1) = 0 C F mit F(x) = 6x + 3 D F mit F(x) = 6 Summen regel für unbestimmte Integrale Faktorregel für unbestimmte Integrale Stamm funktionen einer Polynom funktion eine Polynom funktion integrieren B B : eine Stammfunktion berechnen B B , B , B , B , 4.1 Das unbestimmte Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv