Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

120 417 Ordne dem Graphen den Graphen einer passenden Stammfunktion zu. a. b. c. d. A B C D Stammfunktionen von Potenz, Polynom und Logarithmusfunktionen Im Kapitel Differentialrechnung haben wir von einigen Funktionen die Ableitung bestimmt. Wir können damit sofort Stammfunktionen von diesen Ableitungen angeben. Tipp Wir verwenden im Weiteren häufig die folgende abkürzende Schreibweise: Anstatt „eine Stammfunktion :    f(x) dxvon f ist F mit F(x) =   4 _ 3 x 3 – 2,5x 2 + 2x + c“, schreiben wir kurz „ :    f(x) dx=   4 _ 3 x 3 – 2,5x 2 + 2x + c“. Die Ableitung der Potenzfunktion mit rationalem Exponenten r ≠ ‒1 mit f(x) =   1 _  r + 1 x r + 1 ist die Funktion f’ mit f’(x) = x r . Die Ableitung der Logarithmusfunktion f: R + ¥ R mit f(x) = ln(x) ist die Funktion f’: R + ¥ R mit f’(x) =   1 _ x . Daraus erhalten wir die folgenden Stammfunktionen: Für n * N ist :    x n dx=   1 _  n + 1  ·x n + 1 + c . Für rationale Zahlen r ≠ ‒1 ist auf R + :    x r dx=   1 _  r + 1 x r + 1 + c . Auf R + ist :      1 _ x dx= ln(x) + c . Beispiele: :    x 3 =   1 _  3 + 1 x 3 + 1 + c =   1 _ 4 x 4 + c :    x   5 _  3 =   1 _    5 _ 3 + 1 x   5 _ 3 + 1 + c =   3 _ 8 x   8 _ 3 + c Im Kapitel Differentialrechnung haben wir auch die Summen, Differenzund Faktorregel für das Differenzieren kennengelernt. Für zwei differenzierbare Funktionen f und g ist f + g wieder differenzierbar und (f + g)’ = f’ + g’. Daher ist f + g eine Stammfunktion von f’ + g’. Die gleiche Überlegung können wir auch für die Differenz von Funktionen und das Vielfache einer Funktion anstellen. Wir erhalten: , C ggb 3uu87a x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 f x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 f x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 f x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 f x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 F x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 F x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 F x y 0 2 4 2 4 2 4 2 4 F Stamm funktionen einer Potenz funktion Stamm funktionen der Funktion x ¦   1 _  x  Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv