Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

118 4.1 Das unbestimmte Integral Ich lerne den Begriff der Stammfunktion sowie den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion kennen. Ich lerne Stammfunktionen von Potenz, Polynom, Logarithmusund Exponentialfunktionen zu berechnen. Stammfunktionen Von einem Produktionsbetrieb ist uns die Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 0,06x 2 – 2,4x + 80 bekannt. Ist es möglich, daraus die Kostenfunktion K des Betrie­ bes zu rekonstruieren? Wir müssen dazu eine Funktion finden, deren Ableitung K’ ist. Eine solche Funktion nennt man auch Stammfunktion von K’. Aus der Differentialrechnung wissen wir, dass die Ableitung einer Polynomfunktion vom Grad 3 eine quadratische Funktion ist. Wir nehmen also an, dass K eine Polynomfunktion vom Grad 3 ist. Dann gibt es Zahlen a, b, c, d, sodass K(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ist. Leitet man diese Funktion ab, so erhält man K’ mit K’(x) = 3ax 2 + 2bx + c. Es müsste also 3a = 0,06, somit a = ​  0,06 _ 3  ​= 0,02, 2b = ‒2,4, somit b = ​  ‒2,4 _ 2  ​= ‒1,2 und c = 80 sein. Auf die Zahl d, also die Fixkosten, können wir aus der Grenzkostenfunktion nicht schließen. Als Kostenfunktionen kommen demnach alle Funktionen K mit K(x) = 0,02x 3 – 1,2x 2 + 80x + d infrage, wobei d eine beliebige Zahl ist, die den noch unbekannten Fixkosten entspricht. Allgemein gilt: Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn f die Ableitung von F ist, also F’ = f . Ist F eine Stammfunktion der Funktion f, so schreibt man dafür häufig F = ​ :  ​  ​ f(x) dx​ sprich: „F ist das Integral f(x) dx“. Die Funktion f heißt dann der Integrand , und eine Stammfunktion F wird ein (unbestimmtes) Integral von f genannt. Eine Stammfunktion einer Funktion f zu finden, heißt f integrieren . Achtung Anstelle von x kann auch jeder andere Buchstabe verwendet werden. Zum Beispiel: F = ​ :  ​ ​ f(x) dx​= ​ :  ​  ​ f(z) dz​= ​ :  ​  ​ f(t) dt​ Die Ableitung einer konstanten Funktion c ist 0. Wenn daher F eine Stammfunktion von f ist, dann ist wegen (F + c)’ = F’ + c’ = f + 0 = f auch F + c eine Stammfunktion von f. Wenn zwei differenzierbare Funktionen F und G Stamm­ funktionen derselben Funktion f sind, dann ist (F – G)’ = F’ – G’ = f – f = 0. Daher ist G = F + (F – G) die Summe von F und einer Funktion, deren Ableitung 0 ist. Man kann zeigen: Wenn der Definitionsbereich einer differenzierbaren Funktion, deren Ableitung 0 ist, ein Intervall, eine Halbgerade oder ganz R ist, muss diese Funktion eine konstante Funktion sein. Stammfunktion (unbestimmtes) Integral Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv