Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

111 Die Graphen der Erlösfunktion und der Kostenfunktion eines Monopolbetriebs könnten so aussehen: 384 Ein Betrieb arbeitet nach der Kostenfunktion K mit K(x) = 0,05x 3 – 4,5x 2 + 200x + 5000 und der Nachfragefunktion p N mit p N  (x) = ‒15x + 1 500. Berechne den Cournotschen Punkt. Für die Gewinnfunktion G ist G(x) = (‒15x + 1 500)·x – (0,05x 3 – 4,5x 2 + 200x + 5000) =   = ‒15x 2 + 1 500x – (0,05x 3 – 4,5x 2 + 200x + 5000) =   = ‒ 0,05x 3 – 10,5x 2 + 1 300x – 5000 und G’(x) = ‒ 0,15x 2 – 21x + 1 300. Wenn bei xME der maximale Gewinn erzielt wird, dann ist x eine positive Nullstelle von G’. G’ hat nur eine positive Nullstelle und zwar 46,48. Daher ist x = 46,48 und der zugehörige Verkaufspreis ist p N  (46,48) = 802,8GE/ME. Der Cournotsche Punkt ist (46,48ME 1 802,8GE/ME). 385 Von einem Monopolbetrieb kennt man die Kostenund die Nachfragefunktionen K und p N mit K(x) = 0,03x 3 – 5,6x 2 + 390x + 4000 und p N  (x) = ‒ 9x + 1 260. a. Berechne die Produktionsmenge und den Verkaufspreis, die zum maximalen Erlös führen. Gib den maximalen Erlös an. b. Ermittle den BreakEvenPoint und die Gewinngrenze. c. Gib den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn an. 386 Ein Monopolbetrieb arbeitet nach den Kostenund Nachfragefunktionen K und p N mit K(x) = 0,0011x 3 – 0,185x 2 + 10,7x + 70 und p N  (x) = ‒ 0,09x + 14,9. a. Berechne den Gewinnbereich. b. Berechne den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn. 387 Ein Betrieb erzeugt Wohnwägen. Seine monatlichen Kosten in Euro bei der Produktion von x Wohnwägen werden durch die Funktion K mit K(x) = 0,4x 3 – 132x 2 + 23000x + 67000 beschrieben. Die Preisfunktion der Nachfrage ist p N mit p N (x) = ‒100x + 30000. a. Berechne, wie viele Wohnwägen der Betrieb monatlich mindestens erzeugen muss und wie viele er höchstens erzeugen darf, um Gewinn zu erzielen. b. Berechne, wie viele Wohnwägen der Betrieb monatlich produzieren muss, damit er den maximalen Gewinn erzielt, und gib den maximalen Gewinn an. Achte dabei darauf, dass der Betrieb nur eine ganze Anzahl von Wohnwägen produzieren kann. Gewinn Verl. Verlust GE ME BreakEvenPoint Gewinngrenze E K A, B den Cournotschen Punkt berechnen  ggb/tns q3wg4z A, B , B , A, B , 3.2 Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv