Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

110 382 Durch Marktbeobachtung wurde für ein Produkt die Nachfragefunktion p N mit p N  (x) = 350 – 0,5x ermittelt. a. Gib an, wie groß der Preis ist, wenn die Nachfrage 400 Stück beträgt. b. Ermittle, welche Nachfrage bei einem Preis von 100€/Stück besteht. c. Berechne den Höchstpreis und die Sättigungsmenge. d. Berechne die Punktelastizität bei einer Nachfrage von 280 Stück, 350 Stück und 420 Stück. e. Berechne die Punktelastizität bei einem Preis von 120€/Stück. f. Ermittle, bei welchem Preis und bei welcher Produktionsmenge der maximale Erlös erzielt wird. 383 Zeige, dass aus ε = ‒1 folgt, dass das Unternehmen bei der Produktionsmenge x den maximalen Erlös erzielt. Verwende dazu ​  ​p​ N ​(x) _ x  ​: p’ N  (x) = ‒1 |·p’ N (x) ·x p N (x) = ‒p’ N  (x)·x | + p’ N (x)·x p N (x) + p’ N (x)·x = 0 und überlege, was daraus für die Ableitung der Erlösfunktion E mit E(x) = p N (x)·x folgt. Monopolbetrieb Ein Jungunternehmer hat ein völlig neues Produkt entwickelt, dass er nun auf den Markt bringen will. Da niemand sonst ein vergleichbares Produkt anbietet, hat der Unternehmer auf dem Markt keine Konkurrenz. Sein Betrieb wird dadurch zu einem Monopolbetrieb . Durch eine genaue Marktanalyse erfährt er, dass die Preisfunktion p N der Nachfrage ungefähr durch p N (x) = ‒ 4x + 400 gegeben ist, die Kosten für eine Produktion von xME schätzt er durch K(x) = 0,05x 3 – 3,75x 2 + 140x + 3000 ab. Da der Unternehmer keine Konkurrenz hat, ist er an keinen Marktpreis gebunden, sondern kann den Preis völlig frei gestalten. Es stellt sich für ihn nun die Frage, wie hoch er den Preis wählen und wie viel Stück er produzieren soll, um den maximalen Gewinn zu erzielen. Für x produzierte Mengeneinheiten kann der Gewinn G(x) = E(x) – K(x)   = x·p N (x) – K(x)   = ‒ 4x 2 + 400 x – (0,05x 3 – 3,75x 2 + 140x + 3000)   = ‒ 0,05x 3 – 0,25x 2 + 260x – 3000 erwartet werden. Der maximale Gewinn wird bei x g ME mit G’(x g ) = 0 erzielt. Die Lösungen der Gleichung G’(x) = ‒ 0,15x 2 – 0,5x + 260 = 0 sind x = 40 (und x = ‒43,33). Der maximale Gewinn wird daher bei einer Produktion von 40ME erzielt. Um diese 40ME zu verkaufen, muss der Unternehmer als Verkaufspreis p N (40) = 240GE/ME wählen. Der maximale Gewinn ist dann G(40) = 3800GE. Das Zahlenpaar (40 1 240) bezeichnet man in diesem Zusammenhang als Cournotschen Punkt . Ein Monopolbetrieb ist der alleinige Anbieter eines bestimmten Produktes am Markt. Er hat keine Konkurrenz und kann den Preis daher „beliebig“ festsetzen. Der Zusammenhang zwischen dem von ihm gewählten Preis und der nachgefragten Menge lässt sich dabei durch die Preis­ funktion der Nachfrage p N beschreiben. Ist der Gewinn bezüglich der Preisfunktion p N beim Verkauf von x g ME maximal, dann heißt das Zahlenpaar (​x​ g ​  1  ​p​ N ​(​x​ g ​)) Cournotscher Punkt und x g ME heißt Cournotsche Menge. , B C, D ; Monopol­ betrieb Cournotscher Punkt Cournotsche Menge Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv