Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

11 Durchschnittsgeschwindigkeit Bei seinem Weltrekordlauf über 100m im Jahr 2009 benötigte Usain Bolt aus Jamaika 9,58 s. Für die ersten 60m dieses Laufes benötigte er 6,31 s. Da Usain Bolt für 60m mehr als 6 Sekunden benötigt hat, hingegen für 100m weniger als 10 Sekunden, muss seine Durchschnittsgeschwindigkeit während der ersten 60m kleiner gewesen sein als die für die gesamten 100m. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hatte der Läufer bei diesem Lauf während der ersten 60m und welche während des ganzen Laufes? Für die ersten 60m benötigte Usain Bolt 6,31 s. In diesem Abschnitt war seine Durchschnittsgeschwindigkeit ​  60m _  6,31s ​= 9,51m/s. Für 100m benötigte Usain Bolt 9,58 s, daher war seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Distanz ​  100m _  9,58s ​= 10,44m/s. Auch für den Abschnitt zwischen 60m und 100m können wir seine Durchschnittsgeschwindig­ keit berechnen. Der zurückgelegte Weg ist 100m – 60m = 40m, die dafür benötigte Zeit 9,58 s – 6,31 s = 3,27s. Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf den letzten 40 Metern war daher ​  100m – 60m __  9,58s – 6,31s ​= ​  40m _  3,27s ​= 12,23m/s. Diese Durchschnittsgeschwindigkeit können wir uns auch im zugehörigen ZeitWegDiagramm veranschaulichen. Die Funktion s ordnet jedem Zeitpunkt t des Rennens (in Sekunden) den vom Läufer bis zu diesem Zeitpunkt zurückgelegten Weg (in Meter) zu. Der Quotient ​  100 – 60 __  9,58 – 6,31 ​= ​  40 _  3,27 ​= 12,23 ist dann die Steigung der Geraden, welche den Graphen von s in den Punkten (6,31 1 60) und (9,58 1 100) schneidet. Wir nennen diese Gerade Sekante (lateinisch für „die Schneidende“). Da bei einer Geschwindigkeit von 1m/s innerhalb einer Stunde 3600m = 3,6 km zurückgelegt werden, betrug die Durchschnittsgeschwindigkeit von Usain Bolt auf den letzten 40m dieses Rennens 12,23·3,6 km/h ≈ 44 km/h. Allgemein gilt: Wir beschreiben die Bewegung eines Körpers durch die Funktion s, die jedem Zeitpunkt t den in dieser Zeit zurückgelegten Weg s(t) zuordnet. Wir nennen die Funktion s die ZeitWegFunktion der Bewegung dieses Körpers und den Graphen dieser Funktion das ZeitWegDiagramm dieser Bewegung. Sind A und B zwei verschiedene Punkte des Graphen einer Funktion, dann heißt die Gerade durch diese zwei Punkte eine Sekante des Graphen. Beschreibt man die Bewegung eines Körpers durch die ZeitWegFunktion s, so ist seine Durchschnitts­ geschwindigkeit im Zeitintervall [​t​ 1 ​ ; ​t​ 2  ​] ​  s(​t​ 2 ​) – s(​t​ 1 ​) __ ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​  . Im ZeitWegDiagramm entspricht diese Durchschnitts­ geschwindigkeit der Steigung der Sekante durch die Punkt (t 1  1 s(t 1 )) und (t 2  1 s(t 2 )). Zeit in s Weg in m 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 50 60 70 80 90 100 0 10 30 40 s Sekante s(t 2 ) – s(t 1 ) = 100m – 60m = 40m t 2 – t 1 = 9,58s – 6,31s = 3,27s (6,31 1 60) (9,58 1 100) ZeitWeg­ Funktion t s(t) Sekante s t 1 t 2 s(t 1 ) s(t 1 ) t 2 – t 1 s(t 2 ) – s(t 1 ) B = (t 2 1 s(t 2 )) A = (t 1 1 s(t 1 )) Sekante Durchschnitts­ geschwindig­ keit 1.2 Differenzenquotient und Differentialquotient Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv