Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

109 Punktelastizität Bezeichnen wir die relative Änderung der Nachfrage von x auf x neu mit   x neu – x _ x  und die zugehörige relative Preisänderung mit   p N (x neu ) – p N (x) __ p N (x)  , so ist ε =     x neu – x _ x  __    p N (x neu ) – p N (x) __ p N (x)  =   x neu – x _  x  ·  p N (x) __  p N (x neu ) – p N (x) =   p N (x) _  x  ·  x neu – x __  p N (x neu ) – p N (x)  =   p N (x) _  x  :   p N (x neu ) – p N (x) __ x neu – x  . Wegen  lim     x neu ¥ x p N (x neu ) – p N (x) __ x neu – x  = p’ N (x) können wir ε durch   p N (x) _ x  : p’ N (x) annähern, wenn x neu nahe bei x liegt. Diese Näherung der Bogenelastizität für kleine Preisund Nachfrageänderungen nennen wir Punktelastizität . Wir nehmen an, dass die Preisfunktion der Nachfrage p N differenzierbar ist. Die Punktelastizität der Nachfrage oder Absatzelastizität beim Absatz x und Preis p N (x) ist durch ε =   p N (x) _  x  : p’ N (x) definiert. Für kleine Preisund Nachfrageänderungen ist die Punktelastizität „fast gleich“ der Bogen elastizität. Wir bezeichnen daher auch die Punktelastizität mit ε . Die Interpretation der Punktelastizität erfolgt wie bei der Bogenelastizität, das heißt: für †ε† > 1 ist die Nachfrage elastisch , für †ε† < 1 ist sie unelastisch und für †ε† = 1 spricht man von fließendem Absatz . Tipp Die Bogenelastizität verwenden wir, wenn wir die Elastizität für eine vorgegebene Preisänderung und der daraus resultierenden Absatzänderung ermitteln wollen. Die Punktelastizität verwenden wir, wenn wir die Elastizität bei einem bestimmten Absatz oder einem bestimmten Preis bestimmen wollen. In Aufgabe 383 werden wir zeigen: Aus ε = ‒1 folgt, dass das Unternehmen bei der Produktionsmenge x den maximalen Erlös erzielt. 380 Durch Marktbeobachtungen wurde für ein Produkt die Nachfragefunktion p N mit p N (x) = 350 – 0,5x ermittelt. a. Gib die Punktelastizität bei einer Produktion von 200ME an. b. Ermittle die Punktelastizität bei einem Preis von 150GE/ME. a. ε =   p N (200) _ 200  : p’ N (200) =   250 _ 200 : (‒ 0,5) = ‒ 2,5 †ε† > 1, die Nachfrage ist elastisch. b. Wir benötigen die Nachfrage xME mit p N (x) = 150. Aus 350 – 0,5x = 150 erhalten wir x = 400. ε =   p N (400) _ 400  : p’ N (400) =   150 _ 400 : (‒ 0,5) = ‒ 0,75 †ε† < 1, die Nachfrage ist unelastisch. 381 Die Nachfragefunktion ist p N mit p N (x) = 45 – 0,002x. a. Berechne, wie groß die Punktelastizität bei einer Nachfrage von 20000ME ist. b. Ermittle die Punktelastizität bei einem Preis von 30GE/ME. Punktelastizität B Höchstpreis, Sättigungsmenge, Punktelastizität berechnen ggb/tns 3y4hd9 B : 3.2 Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv