Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

102 356 Von einem Betrieb ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,1x 3 – 6,6x 2 + 185x + 3000 bekannt. Der Verkaufspreis beträgt 275GE/ME. a. Berechne den Gewinnbereich. b. Ermittle, bei wie vielen ME der maximale Gewinn erzielt wird. c. Gib die Grenzkosten für die Produktion mit maximalem Gewinn an. 357 In den folgenden Aufgaben kennt man von einem Betrieb die Kostenfunktion K und den Verkaufspreis pro Mengeneinheit p. Dieser ist für alle verkauften Mengen gleich. I. K mit K(x) = 0,001x 3 – 0,2x 2 + 180x + 36000 p = 500GE/ME II. K mit K(x) = 0,0005x 3 – 0,15x 2 + 115x + 6250 p = 160GE/ME III. K mit K(x) = 0,002x 3 – 0,6x 2 + 65x + 8000 p = 140GE/ME IV. K mit K(x) = 0,001x 3 – 0,09x 2 + 21x + 1100 p = 48,30GE/ME a. Gib den BreakEvenPoint und die Gewinngrenze an. b. Berechne den maximalen Gewinn. c. Ermittle die langfristige Preisuntergrenze und die kurzfristige Preisuntergrenze. 358 Die Abbildung zeigt die Graphen einer Kostenund einer Erlösfunktion eines Betriebes in atomistischer Konkurrenz. a. Ermittle aus der Grafik den Verkaufspreis pro Mengen­ einheit. b. Lies den BreakEvenPoint und die Gewinngrenze ab. c. Ermittle aus der Grafik die gewinnmaximale Menge und lies den maximalen Gewinn ab. d. Skizziere den Graphen der Gewinnfunktion. a. Wir lesen aus der Grafik ab, dass der Erlös bei 100ME 20000GE beträgt. Da E(100) = p·100 ist, folgt daraus p = ​  20000GE __ 100ME  ​= 200GE/ME. b. Die Graphen von K und E schneiden einander ungefähr an den Stellen 25 und 80. Daher liegt der BreakEvenPoint bei ungefähr 25ME und die Gewinngrenze bei ungefähr 80ME. c. Für die gewinnmaximale Menge x g ist E’(x g ) = K’(x g ). Da der Graph der Erlösfunktion eine Gerade mit Steigung E’(x g ) ist, verschieben wir diese Gerade so weit nach unten, bis sie zur Tangente an den Graphen der Kostenfunktion wird. Die xKoordinate des Berührpunktes T ist dann die gewinnmaximale Menge. Wir lesen ab: x g ≈ 57, E(57) ≈ 11 500, K(57) ≈ 9000. Daher ist die gewinnmaximale Menge x g ≈ 57ME und der maximale Gewinn ist E(57) – K(57) ≈ 2500GE. d. Um den Graphen der Gewinnfunktion zu zeichnen, entnehmen wir der Zeichnung den vertikalen Abstand zwischen den Graphen von Erlösund Gewinnfunktion und tragen diesen von der xAchse aus ab. , A, B , A, B x in ME K(x), E(x) in GE 0 20 40 60 80 100 0 5000 10000 15000 20000 E K den Graphen einer Kostenund Erlösfunktion interpretieren C x in ME K(x), E(x) in GE 0 20 40 60 80 100 0 5000 10000 15000 20000 E T K t x in ME K(x), E(x), G(x) in GE 20 40 60 80 100 0 5000 5000 10000 15000 20000 25000 E G K Kostenund Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv