Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

101 Wir nehmen an, dass die Gewinnfunktion genau zwei positive Nullstellen hat und im Intervall zwischen den zwei Nullstellen positiv ist. Dann heißt die kleinere Nullstelle die Gewinnschwelle oder BreakEvenPoint und die größere Gewinngrenze . Das Intervall, dessen untere Grenze die Gewinnschwelle und dessen obere Grenze die Gewinngrenze ist, heißt Gewinnbereich . Erzielt man bei der Produktionsmenge x g ME den maximalen Gewinn, dann ist x g eine lokale Maximumstelle der Gewinnfunktion. Daher ist G’(x g ) = E’(x g ) – K’(x g ) = 0 und daher E’(x g ) = K’(x g ). Bei atomistischer Konkurrenz ist E(x) = p·x, daher ist E’(x g ) = p und somit p = K’(x g ). Die Produktionsmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird, nennt man auch gewinn­ maximale Menge ​x​ g ​ME . Die Zahl x g ist eine positive Nullstelle der Ableitung G’ der Gewinn­ funktion G. Es ist daher G’(​x​ g ​) = 0 . Bei atomistischer Konkurrenz sind die Grenzkosten der gewinnmaximalen Menge gleich dem Preis: K’(​x​ g ​) = p 354 Die Kosten eines Betriebes in atomistischer Konkurrenz lassen sich durch die Funktion K mit K(x) = 0,01x 3 – 0,9x 2 + 130x + 5780 beschreiben. Der Marktpreis für das Produkt liegt bei 250GE/ME. a. Bestimme den Deckungsbeitrag bei einer Produktion von 50ME. b. Ermittle den Gewinnbereich. c. Berechne die gewinnmaximale Menge und gib den maximalen Gewinn an. a. Die Erlösfunktion ist E mit E(x) = 250x, die variable Kostenfunktion ist K v mit K v (x) = 0,01x 3 – 0,9x 2 + 130x. Daraus erhält man die Deckungsbeitragsfunktion D mit D(x) = E(x) – K v (x) = 250x – (0,01x 3 – 0,9x 2 + 130x) = ‒ 0,01x 3 + 0,9x 2 + 120x. Der Deckungsbeitrag bei einer Produktion von 50ME ist D(50) = 7000GE. b. Die Gewinnfunktion ist G mit G(x) = E(x) – K(x) = 250x – (0,01x 3 – 0,9x 2 + 130x + 5780) = ‒ 0,01x 3 + 0,9x 2 + 120x – 5780. Die Nullstellen von G sind ‒ 96,48, 41,25 und 145,22. Die kleinere der beiden positiven Nullstellen ist der BreakEvenPoint, die größere ist die Gewinngrenze. Der Gewinnbereich ist daher das Intervall [41,25; 145,22]. c. Ist x g eine Maximumstelle der Gewinnfunktion, so muss G’(x g ) = 0 sein. G’(x) = ‒ 0,03x 2 + 1,8x + 120. Die Nullstellen von G’ sind ‒ 40 und 100. Da negative Zahlen nicht in Frage kommen (man kann nicht ‒ 40ME produzieren), kann nur 100 die gesuchte Extremumstelle sein. Da 100ME im Gewinnbereich liegt, muss es die gewinnmaximale Menge sein. Der maximale Gewinn wird bei einer Produktion von 100ME erzielt und beträgt G(100) = 5220GE. 355 Ein landwirtschaftlicher Betrieb nutzt eines seiner Felder für den Anbau von Weizen. Die Kosten in Euro für die Produktion von x Tonnen Weizen betragen K(x) = 0,03x 3 – 1,8x 2 + 110x + 3000. Der Marktpreis für Weizen liegt aktuell bei 185€/t. a. Bestimme den Deckungsbeitrag bei einer Produktion von 40 t Weizen. b. Ermittle den Gewinnbereich. c. Berechne die gewinnmaximale Menge und gib den maximalen Gewinn an. d. Berechne die langfristige und die kurzfristige Preisuntergrenze. Gewinnschwelle BreakEvenPoint Gewinngrenze Gewinnbereich gewinnmaximale Menge Deckungsbeitrag, Gewinnbereich und gewinnmaximale Menge berechnen A, B A, B , 3.2 Preistheorie Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv