Mathematik anwenden HUM 4, Schulbuch

10 1.2 Differenzenquotient und Differentialquotient Ich lerne den Differenzenquotienten zu berechnen und ihn sowohl als mittlere Änderungs­ rate als auch als Sekantensteigung zu interpretieren. Ich lerne zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit zu unter­ scheiden und diese zu berechnen. Ich lerne den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten zu berechnen und ihn sowohl als lokale Änderungsrate als auch als Tangentensteigung zu interpretieren. Steigung einer linearen Funktion (Wiederholung) Das abgebildete Verkehrszeichen zeigt an, dass die Straße eine Steigung von 12% aufweist. Das bedeutet, dass die Straße auf einer horizontalen Entfernung von 100m einen Höhenunterschied von 12m überwindet. Wir können das mit einem Steigungsdreieck veranschaulichen: Die Steigung ist der Quotient ​  12m _  100m ​= 0,12 = 12%. Dieser Quotient ist der Tangens des Steigungswinkels α : tan( α ) = ​  12 _  100 ​ , daraus erhalten wir α = arctan​ 2  ​  12 _  100 ​  3 ​= 6,8°. Im ersten Jahrgang haben wir bei den linearen Funktionen bereits gelernt: Ist f eine lineare Funktion und sind a, b reelle Zahlen mit a ≠ b, so liegen die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) auf dem Graphen von f und die Steigung des Funktionsgraphen ist k = ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​ . Hat der Graph einer linearen Funktion die Steigung k, so ist der Steigungswinkel α = arctan(k) . 15 Lies aus dem Graphen der linearen Funktion f die Steigung ab. a. b. c. d. 16 Berechne den Steigungswinkel der linearen Funktion f. a. f(x) = 2x – 5 b. f(x) = 0,5x + 2 c. f(x) = ​  2 _ 3 ​x – 1 d. f(x) = x 17 Der Graph einer linearen Funktion enthält die Punkte A und B. Berechne die Steigung und den Steigungswinkel dieses Graphen. a. A = (1 1 3), B = (5 1 4) b. A = (‒ 2 1 4), B = (3 1 11) c. A = (3 1 ‒1), B = (9 1 ‒7) α 100m 12m a b x y 0 α f (b) – f (a) b – a f (a 1 f (a) ) (b 1 f (b) ) (b 1 f (a) ) Steigung eines Funktions­ graphen Steigungs­ winkel C : x y 2 3 1 0 1 2 2 1 3 4 f x y 2 3 1 1 0 2 2 1 3 4 f x y 2 3 1 0 1 2 2 1 3 4 f x y 2 3 1 0 1 2 2 1 3 4 f B : B : Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv