Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

93 Vollraten und Teilraten Paul hat sich bei der Bank 2000€ geliehen und zahlt nun bei einem Zinssatz von 5% p.a. monatlich nachschüssig 150€ zurück. Die Anzahl der Raten, die er dabei zu zahlen hat, ist mit q = 12 9 ___ 1,05 n = ln 2 150 ___ 150 – 2000(q – 1) 3 : ln(q) = 13,737. Was bedeutet diese Zahl? Paul muss 13-mal den vollen Betrag von 150€ zahlen, man sagt auch „Paul zahlt 13 Vollraten “. Nach diesen 13 Vollraten ist der Kredit aber nicht vollständig abge- zahlt. Es bleibt am Ende des 13. Monats eine Restschuld von K 13 = 2000·q 13 – 150· q 13 – 1 _ q – 1 = 110,17€. Diesen Betrag müsste Paul am Ende des 13. Monats, also gleichzeitig mit der letzten Vollrate, zahlen. Wartet er mit der Zahlung noch einen Monat, so fallen für diesen Monat Zinsen an und Paul muss einen Monat nach der letzten Vollrate 110,17·q = 110,62€ zahlen. Diese noch offenen Restzahlungen nennt man auch Teilrate einen Monat nach der letzten Vollrate . Bei vorschüssigen Raten verläuft die Berechnung ähnlich. Die Anzahl der Raten ist mit q = 12 9 ___ 1,05 n = ln 2 150·q ___ 150·q – 2000(q – 1) 3 : ln(q) = 13,680. Es sind also wiederum 13 Vollraten zu bezahlen. Die Restschuld am Ende des 13 Monats ist K 13 = 2000·q 13 – 150·q· q 13 – 1 _ q – 1 = 102,03€. Da die letzte Vollrate aber bereits am Beginn des 13. Monats – also einen ganzen Monat früher – gezahlt wird, ist dieser Betrag die Teilrate einen Monat nach der letzten Vollrate. Möchte man hingegen die Teilrate gleichzeitig mit der letzten Vollrate bezahlen, so ist dieser Betrag einen Monat abzuzinsen und man zahlt dann nur noch 102,03 _ q = 101,61€. Soll ein Kredit durch Raten einer vereinbarten Höhe getilgt werden, kann nach n solchen Vollraten noch eine Restschuld offen bleiben, die kleiner als die vereinbarte Rate ist. Die noch offene Restzahlung nennt man Teilrate. Die Teilrate kann entweder gleichzeitig mit der letzten Vollrate ( T G ) oder eine Rentenperiode nach der letzen Vollrate ( T N ) bezahlt werden. Bezeichen wir mit q den zur Rentenperiode passenden Aufzinsungsfaktor und mit K n die Rest- schuld nach n Vollraten, dann ist nachschüssig vorschüssig T G = K n T G = K n _ q T N = K n ·q T N = K n . 441 Ein Kredit über 60000€ soll bei 9% p.a. durch nachschüssige Monatsraten von 800€ zurück- bezahlt werden. a. Berechne, wie viele Vollraten zu bezahlen sind. b. Ermittle, wie groß die Teilrate ist, wenn sie gemeinsam mit der letzten Vollrate bezahlt wird. c. Gib an, wie groß die Teilrate ist, wenn sie einen Monat nach der letzten Vollrate bezahlt wird. a. Der Aufzinsungsfaktor ist q = 12 9 ___ 1,09.  Wir müssen eine Zahl n so finden, dass die Restschuld nach n Zahlungen 0 ist, also 0 = 60000·q n – 800· q n – 1 _ q – 1 . Daraus berechnen wir n = ln 2 800 ___ 800 – 60000·(q – 1) 3  : ln(q) ≈ 108,3.  Es sind also 108 Vollraten zu zahlen. Vollraten Teilrate B nachschüssige Voll- und Teilraten berechnen 4.1 Kreditraten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum T des Verlags öbv