Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

81 383 Herr Egger zahlt 30 Jahre lang jährlich zu Jahresbeginn 600€ auf ein mit 3,5% p.a. verzinstes Sparbuch. Im Anschluss daran möchte er 20 Jahre lang eine vorschüssige Jahresrente beziehen. Ermittle, wie hoch die Rate dieser Rente maximal sein kann. 384 Frau Moser zahlt 20 Jahre lang vierteljährlich vorschüssig 500€ auf ein mit 4% p.a. verzinstes Sparbuch ein. Im Anschluss daran möchte sie dann 10 Jahre lang eine monatliche vorschüssige Rente beziehen. Berechne, wie hoch die Rate dieser Rente maximal sein kann. 385 Frau Kunze hat 350000€ geerbt. Sie legt diesen Betrag auf ein mit 2,125% p.a. verzinstes Sparbuch und möchte davon eine in 10 Jahren beginnende monatliche vorschüssige Rente mit 10 Jahren Laufzeit beziehen. a. Stelle den Zahlungsverlauf aus der Sicht von Frau Kunze mithilfe einer Zeitlinie dar. b. Berechne die Raten dieser Rente. 386 Herr Knauser hat vor, in 25 Jahren in Pension zu gehen und ab diesem Zeitpunkt zusätzlich zu seiner Pension 20 Jahre lang eine monatliche (vorschüssige) Rente mit Rate 2000€ zu beziehen. Berechne, welchen Betrag er bei einer Verzinsung von 3,75% p.s. zu diesem Zweck ab sofort monatlich (vorschüssig) anlegen muss, um dieses Ziel zu erreichen. Ewige Renten Frau Kroll legt zu Jahresbeginn 60000€ zu 4,5% p.a. an. Sie erhält dafür pro Jahr 2700€ Zinsen. Wenn sie eine nachschüssige Jahresrente von 2700€ bezieht, wird das Restkapital immer unverändert 60000€ betragen. Eine solche Rente nennt man ewige Rente . Eine Rente, deren Raten ohne zeitliche Beschränkung („bis in alle Ewigkeit“) ausbezahlt werden können, nennt man ewige Rente . Zum Beispiel ist die jährliche Auszahlung der Zinsen eines Kapitals eine ewige Rente. Bei einer vorschüssig ausgezahlten ewigen Rente stellen wir uns Folgendes vor: Wird vom ursprünglichen Kapital K 0 die Rate R e der ewigen Rente abgezogen, so muss sich aus dem Rest am Ende der Rentenperiode durch die Verzinsung wieder K 0 ergeben: (K 0 – R e )·q = K 0 | : q K 0 – R e = K 0 _ q | + R e – K 0 _ q R e = K 0 – K 0 _ q R e = K 0 · 2 1 – 1 _ q 3 R e = K 0 · 2 q – 1 _ q 3 Die Rate einer ewigen Rente beträgt nachschüssig vorschüssig R e = K 0 ·(q – 1) R e = K 0 · 2 q – 1 _ q 3 . Dabei ist die Zinsperiode des Aufzinsungsfaktors q gleich der Rentenperiode. Der Barwert B einer ewigen Rente mit Rate R e ist das Anfangskapital K 0 , daher ist nachschüssig vorschüssig B = R e _ q – 1 B = q· R e _ q – 1 . 387 Ein Kapital von 100000€ wird zu 4% p.a. angelegt. Ermittle, wie hoch die Rate einer nachschüs- sigen ewigen Monatsrente ist. Da die Zahlungen monatlich erfolgen, berechnen wir den äquivalenten Aufzinsungsfaktor p.m.: q = 12 9 ___ 1,04 Die Rate der ewigen Monatsrente ist R e = K 0 ·(q – 1) = 100000·( 12 9 ___ 1,04 – 1) = 327,37€. A, B , A, B , A, B , A, B ; ewige Rente Rate einer ewige Rente Barwert einer ewigen Rente B ewige nachschüssige Rente berechnen tns j473q9 3.2 Grundlagen der Rentenrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv