Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

78 370 Georg hat sich ausgerechnet, dass er bei einem Zinssatz von 3% p.a. 3 Jahre lang monatlich vor- schüssig 133€ sparen müsste, um sich sein erstes Auto kaufen zu können. Als er zur Bank geht, muss er erfahren, dass der Zinssatz für Spareinlagen zurzeit nur 0,75% p.a. beträgt. a. Ermittle, wie hoch seine Sparraten in diesem Fall tatsächlich sein müssen. b. Berechne, welchen Betrag Georg monatlich zur Seite legen müsste, wenn er für sein Geld keine Zinsen bekommt. Vergleiche diesen Betrag mit den in Aufgabe a. berechneten Raten und interpretiere das Ergebnis. 371 Frau Eder hat vor, bis zu ihrer Pensionierung in 30 Jahren ab sofort am Beginn jedes Quartals 200€ auf ein Sparkonto zu zahlen. Sie nimmt an, dass die Zinsen in diesem Zeitraum zwischen 0,25% p.a. und 4,5% p.a. variieren können. Argumentiere, mit welchem Endwert Frau Eder unter Berücksichtigung der KEST rechnen kann. In 30 Jahren sind insgesamt n = 30·4 = 120 Raten zu zahlen. Den minimalen Endwert erzielt Frau Eder, wenn die Zinsen während der gesamten Laufzeit 0,25% p.a. betragen. Berücksichtigt man die 25% KEST, so ist i = 0,75·0,25% = 0,1875% und der äquivalente Aufzinsungsfaktor für die Quartalsraten q = 4 9 _____ 1,001875. Das führt zu E = 200·q· q 120 – 1 _ q – 1 = 24692,96€. Den maximalen Endwert erzielt Frau Eder, wenn die Zinsen während der gesamten Laufzeit 4,5% p.a. betragen. In diesem Fall ist i = 0,75·4,5% = 3,375% und der äquivalente Aufzinsungs- faktor pro Quartal q = 4 9 ____ 1,03375. Das führt zu E = 200·q· q 120 – 1 _ q – 1 = 41 308,77€. Da durch die Zinsschwankungen beide Endwerte nicht genau erreicht werden können, runden wir auf ganze 100€. Frau Eder kann damit rechnen, in 30 Jahren einen Endwert zwischen 24700€ und 41 300€ zu erhalten. 372 Martin möchte 5 Jahre lang am Ende jeden Monats 50€ zur Bank tragen. Er nimmt an, dass der Zinssatz in diesem Zeitraum zwischen 0,5% p.a. und 2,5% p.a. liegen wird. Argumentiere, mit welchem Endwert Martin unter Berücksichtigung der KEST rechnen kann. Auszahlung von Renten Herr Buchinger erbt 50000€ und legt diesen Betrag auf ein mit 3% p.a. verzinstes Sparkonto. Von diesem Kapital hebt er jährlich nachschüssig 4000€ ab. Welches Restkapital hat er nach 6 Jahren noch auf seinem Sparkonto? Wir stellen den Sachverhalt (aus Sicht der Bank) mithilfe einer Zeitlinie Das Restkapital ist der Endwert dieses Zahlungsstroms am Ende des 6. Jahres. Es ist K 6 = 50000·q 6 – 4000q 5 – 4000q 4 – 4000·q 3 – 4000·q 2 – 4000·q – 4000 K 6 = 50000·q 6 – 4000·(q 5 + q 4 + q 3 + q 2 + q + 1) K 6 = 50000·q 6 – 4000· q 6 – 1 _ q – 1 = 33828,97€. Nach 6 Jahren sind also noch 33828,97€ auf dem Sparkonto. Das Restkapital K n einer nachschüssig ausgezahlten Rente nach n Raten bei einem Anfangsgut- haben K 0 und einem zur Rentenperiode passenden Aufzinsungsfaktor q ist K n = K 0 ·q n – R· q n – 1 _ q – 1 . A, B, C ; den Endwert in Abhängigkeit vom Zinssatz argumentieren A, B, D A, B, D , Jahre 4 5 6 3 2 0 - €4.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 €50.000 K 6 Restkapital einer nachschüssigen Rente Rentenrechnung Nur dar: zu Prüfzwecken – Eigentum 1 des Verlags öbv