Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

75 351 Die erste Rate einer Jahresrente von 4200€ mit einer Laufzeit von 6 Jahren ist in genau 4 Jahren fällig. Berechne den Barwert dieser Rente unter Berücksichtigung der KEST, wenn der Zinssatz 2,25% p.a. beträgt und veranschauliche den Rechengang durch eine Zeitlinie. 352 Paul zahlt ab sofort 6 Jahre lang jährlich 1 000€ auf ein mit 1,5% p.a. verzinstes Sparbuch. Im Anschluss an die letzte Einzahlung soll das Geld noch 4 Jahre lang auf dem Sparbuch bleiben. Berechne den Endwert dieses Kapitals unter Berücksichtigung der KEST und veranschauliche den Rechengang durch eine Zeitlinie. Unterjährige Renten Im Alltag erfolgen Rentenzahlungen oftmals monatlich, manchmal auch jedes Quartal oder jedes Semester. Erfolgen die Rentenzahlungen mehrmals pro Jahr, so spricht man von einer unterjährigen Rente (zum Beispiel Monats-, Quartals- oder Semesterrente). Die Rentenperiode ist dann kürzer als ein Jahr (zum Beispiel ein Monat, ein Vierteljahr oder ein Semester). Zur Berechnung von Endwert und Barwert haben wir bisher immer angenommen, dass die Verzinsungsperiode und die Rentenperiode übereinstimmen (zum Beispiel: Zinssatz p.a. und Jahresraten). Für den Fall, dass die Verzinsungsperiode von der Rentenperiode abweicht (zum Beispiel: Zinssatz p.a. und Monatsraten), berechnet man sich einfach zunächst den zur Rentenperiode passenden äquiva- lenten Aufzinsungsfaktor. Zur Erinnerung: Ist k die Anzahl der Raten pro Jahr (zum Beispiel 1, 2, 4 oder 12), m die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr (zum Beispiel 1, 2, 4 oder 12) und q m der Aufzinsungsfaktor für diese Zinsperiode, so gilt für den zu q m äquivalenten Aufzinsungsfaktor q, dessen Zinsperiode gleich der Rentenperiode ist: q = k 9 ___ q m m = q m m _ k Ist der nominelle Jahreszinssatz i nom gegeben, so ist q = 1 + i nom _ k . Beispiele: ƒ Monatsraten bei 2% p.a.: k = 12, m = 1 w q = 12 9 ___ 1,02 1 ƒ Quartalsraten bei 1,5% p.s.: k = 4, m = 2 w q = 4 9 ____ 1,015 2 ƒ Semesterraten bei 0,3% p.m.: k = 2, m = 12 w q = 2 9 ____ 1,003 12 GeoGebra Endwert[ <Zinssatz> , <Anzahl der Perioden> , <Zahlung> , <Barwert (optional)> , <Fälligkeit (optional)> ] Zinssatz = q m m _ k – 1 oder Zinssatz = i nom _ k EXCEL = ZW( Zins ; Zzr ; Rmz ;  [Bw] ;  [F] ) Zins = q m m _ k – 1 oder Zins = i nom _ k ¥ ¥ TI Nspire tvmFV( N , I , PV , Pmt ,  [PpY] ,  [CpY] , [PmtAt] ) I = 100·(q m m – 1) und PpY = k oder I = i nom _ k und PpY = 1 A, B , A, B ; äquivalenter Aufzinsungs- faktor einer unterjährigen Rente den Endwert einer unterjährigen Rente berechnen ggb/xls/tns f6z5an 3.2 Grundlagen der Rentenrechnung Nur zu Prüfzwecken m – Eigentum des Verlags öbv