Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

74 343 Argumentiere, wie man bei gleichem Zinssatz aus dem Endwert einer vorschüssigen Jahresrente den Endwert einer nachschüssigen Rente mit gleicher Rate und Laufzeit erhält. 344 Milan will in 6 Jahren durch jährliche vorschüssige Zahlungen gleicher Höhe 11 000€ ansparen. Der Zinssatz beträgt 2,5% p.a. Ermittle, wie hoch die Rate sein muss. 345 Gib an, wie viel Euro Michael jedes Jahr zu Beginn des Jahres auf ein Sparbuch mit 3,25% einzahlen muss, damit er sich in 5 Jahren ein Auto um 20000€ leisten kann. 346 Adam zahlt 7 Jahre lang jeweils am Jahresbeginn 4500€ auf ein mit 2,25% p.a. verzinstes Spar- konto. Berechne, welchen Betrag Eva gleichzeitig mit Adams erster Rate einmalig auf ein Prämien- sparbuch mit einem Zinssatz von 2,75% p.a. zahlen muss, um am Ende des 7. Jahres auf den gleichen Endwert zu kommen wie Adam. 347 Bankzinsen unterliegen ständigen Veränderungen. In den 1980er Jahren konnte man für Spareinlagen noch mehr als 5% p.a. Zinsen erhalten und musste keine KEST zahlen. Im Jahr 2015 betrug der Zinssatz maxi- mal 1,125% p.a., wobei aber 25% KEST zu zahlen sind. Das hat Auswir- kungen auf den erzielten Gewinn beim Sparen. a. Berechne, welchen Endwert eine 10-jährige vorschüssige Jahresren- te mit einer Rate von 1 000€ in den 1980er Jahren hätte und welchen Endwert man 2015mit derselben Sparleistung erzielt. b. Ermittle, um wie viel Prozent der in Aufgabe a. berechnete Endwert im Jahr 2015geringer ist als der Endwert 1980er Jahren. 348 Der Barwert einer vorschüssigen Jahresrente mit n Raten lässt sich auch mithilfe der Rechnung B = R + R·q ‒1 + R·q ‒2 + … + R·q 2) + R·q ‒(n ermitteln. a. Stelle diesen Sachverhalt mithilfe einer Zeitlinie dar b. Zeige, dass sich diese Rechnung mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen zu B = R· v n – 1 _ v – 1 vereinfachen lässt, wenn v = q ‒ 1 349 Zeige analog zu Aufgabe 348, dass der Barwert einer nachschüssigen Jahresrente mit n Raten mit der Formel B = R·v· v n – 1 _ berechnet werden kann, wenn man v = q ‒ 1 setzt. 350 Die erste Rate einer Jahresrente von 2000€ mit einer Laufzeit von 5 Jahren ist in genau 3 Jahren fällig. Berechne den Barwert dieser Rente unter der Berücksichtigung der KEST, wenn der Zins- satz 2% p.a. beträgt und veranschauliche den Rechengang durch eine Zeitlinie. Wir beginnen mit der Zeitlinie: Um den Barwert B zu ermitteln, berechnen wir zunächst den Barwert B 1 einer vorschüssigen Jahresrente mit 5 Jahren Laufzeit und zinsen diesen anschließend noch 3 Jahre ab. Um die KEST zu berücksichtigen, rechnen wir 0,75·2% = 1,75% und erhalten q = 1,0175. B 1 = 2000·q· q 5 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 5 = 9661,89€ B = 9661,89 __ q 3 = 9171,89€ Wir hätten auch gleich B = 2000·q· q 5 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 5 + 3 = 9171,89€ rechnen können. Der Barwert beträgt 9171,89€. D , B , B , A, B , A, B , A, D ; B, D ; den Barwert einer in 3 Jahren beginnenden Rente berechnen A, B Jahre 4 5 6 7 3 2 1 0 €2.000 €2.000 €2.000 €2.000 €2.000 B 1 B Rentenrechnung Nur zu Prüfzwecken erzielt in den ‒(n – – Eigentum v – 1 des ist. Verlags – 1) . öbv