Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

70 3.2 Grundlagen der Rentenrechnung Ich lerne den Endwert und den Barwert einer Rente zu berechnen und zu interpretieren. Ich lerne die Rate einer Rente mit vorgegebenem End- oder Barwert zu berechnen. Nachschüssige und vorschüssige Jahresrenten Hannah zahlt 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres 1 200€ auf ein mit 2% p.a. verzinstes Sparbuch. Welchen Betrag hat sie am Ende des 6. Jahres zur Verfügung? Um das herauszufinden, berechnet Hannah den Endwert des folgenden Zahlungsstroms nach 6 Jahren: Schreiben wir R (wie Rate) für die jährlich gleichbleibende Zahlung von 1 200€ und q für den Aufzinsungsfaktor 1,02, so erhalten wir für den Endwert E = R·q 5 + R·q 4 + R·q + R·q + R·q + R E = R·(q 5 + q 4 + q + q + 1) E = 6244,84€. Welchen Endwert hätte Hannah erhalten, hätte sie ihre Zahlungen über 10, 20 oder allgemein n Jahre hindurch fortgesetzt? Wir überlegen uns: Für einen Zeitraum von n Jahren beträgt der Endwert E = R·(q + q n – 2 + … + q + q + 1). Erinnern wir uns an die Summenformel der geometrischen Reihe, die wir in Abschnitt 2.1 kennengelernt haben, so erhalten wir E = R· q n – 1 _ q – 1 Im Bankenalltag ist man oft mit regelmäßig wiederkehrenden Zahlungen konfrontiert. Wir den- ken dabei beispielsweise an die Prämien für eine Versicherung, Rückzahlung von Kreditraten oder an die Ausbezahlung des Gehalts oder einer Pension. Solche regelmäßig wiederkehrende Zahlungen lassen sich unter dem Begriff Rente zusammenfassen. Einen Zahlungsstrom, bei dem die Zahlungen in gleichen Zeitabständen und in gleicher Höhe erfolgen, nennt man eine Rente . Diese Zahlungen werden Raten der Rente genannt, die Zeitabstände nennt man Rentenperioden . Ist n die Anzahl der Rentenperioden, dann wird die Zeit von n Rentenperioden auch Laufzeit der Rente genannt. Wenn die Rentenperiode 1 Jahr beträgt, spricht man von einer Jahresrente. Erfolgen die Zahlungen jeweils am Ende der Rentenperiode, so heißt die Rente nachschüssig . Erfolgen die Zahlungen einer Rente jeweils am Anfang der Rentenperiode, so heißt die Rente vorschüssig . Der Endwert einer nachschüssigen Rente mit n Rentenperioden bei einem Aufzinsungsfaktor q ist der Endwert des zugehörigen Zahlungsstroms: 4 5 6 3 2 1 0 €1.200 €1.200 €1.200 €1.200 €1.200 €1.200 E Rente Rate Rentenperiode Laufzeit Jahresrente nachschüssige Rente vorschüssige Rente Jahre 4 5 6 3 2 1 0 R R R R R R E B Rentenrechnung Nur zu n – 1 Prüfzwecken 3 2 3 + q 2 – Eigentum . des 2 Verlags Jahre öbv