Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

7 Man kann zeigen, dass man f: Q ¥ R mit f(t) = a t auf genau eine Weise zu einer streng monoton wachsenden bzw. fallenden Funktion von R nach R erweitern kann. Wir nennen diese Funktion Exponentialfunktion zur Basis a (dabei ist a eine positive reelle Zahl) und schreiben dafür exp a : R ¥ R , x ¦ a x . Für beliebige reelle Zahlen x ist also exp a (x) = a x . Mit dieser Festlegung können wir nun 3 9 _ 2 näherungsweise beliebig genau berechnen: Wir wäh- len eine rationale Zahl, die kleiner, und eine rationale Zahl, die größer als 9 _ 2 ist, zum Beispiel 1,41 < 9 _ 2 < 1,42. Dann ist 3 9 _ 2 eine Zahl zwischen 3 1,41 = 3 141 _ 100 ≈ 4,70696 und 3 1,42 = 3 142 _ 100 ≈ 4,75896. Ist f = exp a : R ¥ R die Exponentialfunktion zur Basis a > 0, also für alle reellen Zahlen f(x) = a x , dann gilt: f(0) = 1 f(1) = a f(‒1) = 1 _ a f(x + 1) = a·f(x) Der Funktionswert f(x) ist immer positiv. Für a > 1 ist f streng monoton wachsend. Für 0 < a < 1 ist f streng monoton fallend. Beispiele: 1 Ergänze die Wertetabelle der Funktion f und skizziere dann ihren Graphen. a. f(x) = 3 x b. f(x) = 2 1 _ 2 3 x c. f(x) = 1,5 x d. f(x) = 2 1 _ 4 3 x x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) ‒ 2 ‒ 2 ‒ 2 ‒ 2 ‒1 ‒1 ‒1 ‒1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 Erstelle für die Funktion f eine Wertetabelle im Intervall [‒ 4; 4] und zeichne den Graphen der Funktion über diesem Intervall. a. f(x) = 2 x b. f(x) = 2 1 _ 3 3 x c. f(x) = 1 x d. f(x) = 2 2 _ 3 3 x 3 Erstelle mit einer geeigneten Technologie einen Schieberegler für die Zahl a im Bereich von 1 _ 10 bis 5. Zeichne anschließend den Graphen der Funktion f mit f(x) = a x . Betätige nun den Schiebe- regler, beobachte den Funktionsgraphen und beantworte die folgenden Fragen: a. Für welche Zahlen a ist die Funktion f streng monoton fallend? b. Für welche Zahlen a ist die Funktion f streng monoton wachsend? y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 4 3 -1 exp 1/2 exp 2 ggb a6k3vx Exponential- funktion zur Basis a Eigenschaften der Exponential- funktion y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 4 3 -1 exp 3 exp 2 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 4 3 -1 exp 1 2 exp 1 3 B : , B B, C , 1.1 Exponentialfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv