Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

68 Frau Huber überlegt, welchen Betrag sie einmal einzahlen müsste, um bei gleichem Zinssatz nach 5 Jahren denselben Betrag (4131,71€) am Sparbuch zu haben. Wenn sie B€ einzahlt, erhält sie beim Zinssatz 1% nach 5 Jahren B·1,01 5 €. Daher muss B = 4131,71 _ 1,01 5 = 3931,18€ sein. Den Betrag 3931,18€ nennt man den Barwert des Zahlungsstroms beim Zinssatz 1%. Erfolgen die Zahlungen eines Zahlungsstroms mit gleichbleibendem Aufzinsungsfaktor q in Jahresabständen und ist Z i (für i = 0, 1, …, n) die Zahlung am Ende des i-ten Jahres, so nennt man den Betrag, den man zum Zeitpunkt 0 einzahlen müsste, um als Endwert nach n Jahren den End- wert des Zahlungsstroms nach n Jahren zu erhalten, den Barwert dieses Zahlungsstroms. Der Barwert des Zahlungsstroms ist B = Z 0 + Z 1 _ q + Z 2 _ q 2 + … + Z n _ q n = Z 0 + Z 1 ·q ‒ 1 + Z 2 ·q ‒ 2 + … + Z n ·q ‒ n . Es ist B = E _ q n . 319 Der abgebildete Zahlungsstrom wird mit 5% p.a. verzinst. Berechne den Endwert nach 5 Jahren a. ohne Berücksichtigung der KEST, b. mit Berücksichtigung der KEST. Wir erweitern die Zeitlinie, indem wir von jeder Zahlung einen Pfeil bis zum Ende des 5. Jahres einzeichnen. Die Länge dieser Pfeile gibt an, wie viele Jahre der jeweilige Betrag aufgezinst wer- den muss. a. Der Aufzinsungsfaktor ist q = 1,05, also ist der Endwert E = 3000·q 5 + 1 000·q + 2000·q 3 – 1 000·q 2 + 2000·q = 8357,10€. b. enn man die KEST von 25% berücksichtigt, erhält man von den ursprünglich 5% Zinsen nur noch 0,75·5% = 3, % ausgezahlt. Wir berechnen den Endwert daher mit dem Aufzinsungs- faktor q = 1,0375 und erhalten E = 3 000·q 4 + 2000·q 3 – 1 000·q 2 + 2000·q = 7997,08€. 320 Der abgebildete Zahlungsstrom wird mit 3% p.a. verzinst. Berechne den Endwert nach 5 Jahren a. ohne Berücksichtigung der KEST, b. mit Berücksichtigung der KEST. 321 Der abgebildete Zahlungsstrom wird mit 2,5% p.a. verzinst. Berechne den Endwert nach 6 Jahren a. ohne Berücksichtigung der KEST, b. mit Berücksichtigung der KEST. 322 Alex zahlt 5 Jahre lang jeweils am Jahresende 800€ auf ein mit 1,5% p.a. verzinstes Sparbuch. Veranschauliche diesen Zahlungsstrom mithilfe einer Zeitlinie und berechne den Endwert nach 7 Jahren a. ohne Berücksichtigung der KEST, b. mit Berücksichtigung der KEST. Barwert eines Zahlungsstroms den Endwert eines Zahlungsstroms berechnen B, C Jahre 3 2 1 0 €3.000 €1.000 €2.000 - €1.000 €2.000 Jahre 4 5 3 1 0 €3.000 €2.000 €1.000 €2.000 - €1.000 E B, C : Jahre 4 5 3 2 1 0 €4.200 €2.700 €1.050 - €1.200 €2.500 B, C : Jahre 4 5 6 3 2 1 0 €4.000 - €750 €3.500 €850 €1.800 A, B : Rentenrechnung Nur W zu Prüfzwecken 4 2 – Eigentum 4 75 000·q 5 + 1 des Verlags öbv