Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

67 315 Franziska notiert mithilfe einer Zeitlinie am Ende jeden Monats, wie viel ihr vom Taschengeld die- ses Monats übriggeblieben ist. Eine negative Zahl bedeutet, dass sie in diesem Monat mehr aus- gegeben hat, als sie an Taschengeld erhalten hat. a. Lies ab, in welchen Monaten Franziska mehr Geld ausgegeben als erhalten hat. b. Berechne, wie viel sie vom Taschengeld am Jahresende insgesamt noch hat. 316 Ein Kredit über 10000€ wird durch folgende 3 Raten zurückgezahlt: 4000€ nach 2 Jahren, weitere 4000€ nach 4 Jahren und 4000€ nach 6 Jahren. Stelle diesen Zahlungsstrom a. aus Sicht der Bank, b. aus Sicht des Kreditnehmers mithilfe einer Zeitlinie dar. a. Die Bank zahlt 10000€ aus. Wir bezeichnen den Zeitpunkt der Auszahlung mit 0 und notieren die Auszahlung mit einem negativen Vorzeichen. Die Zahlungen, die die Bank erhält, notieren wir mit einem positiven Vorzeichen. b. Der Kreditnehmer erhält die 10000€, daher schreiben wir die 10 € hier als positive Zahl an. Die Zahlungen des Kreditnehmers schreiben wir hingegen als negative Zahlen. 317 Ein Kredit über 8000€ wird durch 3 Zahlungen in der Höhe von 3000€, die jeweils nach 2, 4 und 5 Jahren erfolgen, getilgt. Stelle diesen Zahlungsstrom a. aus Sicht der Bank, b. aus Sicht des Kunden mithilfe einer Zeitlinie dar. 318 Die Zeitlinie stellt den Zahlungsstrom einer Kreditrückzahlung dar. Entscheide, ob die Darstellung aus Sicht des Kreditgebers oder aus Sicht des Kreditnehmers erfolgt. a. b. Endwert und Barwert eines Zahlungsstroms mit gleichbleibender Verzinsung Frau Huber vereinbart mit einer Bank, auf ein Sparbuch 1 000€ einzuzahlen, nach 2 Jahren € und nach einem weiteren Jahr noch einmal 1 000€. Alle Beträge sollen mit jährlich 1% zinst werden. Welchen Betrag hat sie nach 5 Jahren auf dem Sparbuch? Wir berechnen dazu die Endwerte aller eingezahlten Beträge, also 1 000·1,01 5 €, 2000·1,01 3 € und 1 000·1,01 2 €. Dann addieren wir diese Endwerte: 1 000·1,01 5 + 2000·1,01 3 + 1 000·1,01 2 = 4131,71€ Diesen Betrag nennt man den Endwert des Zahlungsstroms nach 5 Jahren beim Zinssatz 1%. Erfolgen die Zahlungen eines Zahlungsstroms mit gleichbleibendem Aufzinsungsfaktor q in Jahresabständen und ist Z i (für i = 0, 1, …, n) die Zahlung am Ende des i-ten Jahres (dabei kann Z i auch 0 sein), so nennt man E = Z 0 ·q n + Z 1 ·q n – 1 + Z 2 ·q n – 2 + … + Z i ·q n – i + … + Z n ·q 0 den Endwert dieses Zahlungsstroms nach n Jahren . Beachte: Die Zahlung Z 0 „am Ende des 0-ten Jahres“ kann auch als eine Zahlung zu Beginn des ersten Jahres gedeutet werden. B, C : Monat 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 1 0 €7,10 €11,34 €2,48 €6,22 - €7,60 €5,89 - €3,15 €12,32 €7,16 €2,11 €0,85 - €23,16 einen Zahlungsstrom graphisch darstellen A 4 5 6 3 2 1 0 - €10.000 €4.000 €4.000 €4.000 Jahre 4 5 6 2 1 0 €10.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 : A : C Jahre 4 5 6 3 1 0 €20.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 - €4.000 Jahre 4 5 3 2 - €4.000 €900 €900 €900 €900 €900 Endwert eines Zahlungsstroms mit Verzinsung 3.1 Zahlungsströme Nur zu Prüfzwecken 3 – Eigentum 2000 ver 2 1 0 des Verlags 000 Jahre öbv