Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

62 Zusammenfassung Zu je zwei reellen Zahlen a ≠ 0 und q ≠ 0 erhalten wir die Folge (mit n Folgengliedern)  (a, a·q 1 , a·q 2 , …, a·q n – 1 ). Diese endliche Folge nennt man endliche geometrische Folge mit Anfangsglied a und Quotient q . Die endliche Folge (a, a + a·q 1 , a + a·q + a·q 2 , …, a + a·q 1 + a·q 2 + … + a·q n – 1 ) nennt man die endliche geometrische Reihe der Folge (a, a·q 1 , a·q 2 , …, a·q n – 1 ). Es ist a + a·q 1 + a·q 2 + … + a·q n – 1 = a· q n – 1 _ q – 1 . Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. so angelegt, dass es jedes Jahr um die Zinsen vergrößert wird, dann ist das Kapital nach n Jahren gleich K n = K 0 ·q n . K 0 heißt das Anfangskapital oder der Barwert , K n das Endkapital oder der Endwert (nach n Jahren) und q = 1 + p _ 100 ist der Aufzinsungsfaktor . Verzinst man ein Kapital K 0 für einen Zeitraum von d Tagen (weniger als ein Jahr), so ist beim Zinssatz i bzw. beim Aufzinsungsfaktor q das Endkapital bei praktischer (oder einfacher ) Verzinsung : bei theoretischer Verzinsung : K d _ 360 = K 0 · 2 1 + d _ 360 ·i 3 K d _ 360 = K 0 ·q d _ 360 = K 0 ·(1 + i) d _ 360 Wenn die Zinsperiode der m-te Teil eines Jahres ist, spricht man von unterjähriger Verzinsung und schreibt i m für den entsprechenden Zinssatz. Das so verzinste Anfangskapital K 0 hat nach einem Jahr den Endwert K 0  ·(1 +  i m ) m . Speziell bezeichnet man mit i 2 den Semesterzinssatz (p.s.), mit i 4 den Quartalszinssatz (p.q.) und mit i 12 den Monatszinssatz (p.m.). Der effektive Jahreszinssatz oder kurz Effektivzinssatz i eff ist der jährliche Zinssatz, der zu demselben Endwert führen würde, also: 1 + i eff = (1 + i m ) m Das m-Fache von i m heißt nomineller Jahreszinssatz oder kurz Nominalzinssatz . Also: i nom  = m·i m Für den zu i m äquivalenten Zinssatz i t gilt: i t = t 9 _____ (1 + i m ) m – 1 Für die entsprechenden Aufzinsungsfaktoren gilt: q t = t 9 ___ q m m Zwei Zinssätze i m und i t (dabei sind m und t positive ganze Zahlen) sind äquivalent , wenn sie dem gleichen Effektivzinssatz entsprechen, also wenn (1 + i m ) m = (1 + i t ) t ist. Bei einem (nominellen) Jahreszinssatz i erhält man bei stetiger Verzinsung für ein Kapital K 0 nach n Jahren den Endwert K(n) = K 0 ·e i·n . endliche geometrische Folgen und Reihen Summenformel Zinseszinsen praktische und theoretische Verzinsung unterjährige Verzinsung stetige Verzinsung Zusammenfassung: Zins- und Zinseszinsrechnung Nur zu m ) Prüfzwecken – Eigentum ) des e Verlags ·q öbv