Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

49 Praktische und theoretische Verzinsung Silvia hat vor 2 Jahren und 9 Monaten 200€ auf ein  Sparbuch mit einem Zinssatz von 2% p.a. gelegt und möchte nun das Sparbuch auflösen. Nach 2 Jahren hätte sie 200·1,02 2 = 208,08€ bekommen. Wie viel bekommt sie für die restlichen 9 Monate? Am einfachsten sind die Zinsen zu berechnen, wenn für drei Viertel eines Jahres drei Viertel der Zinsen, die man für ein Jahr erhalten würde, bezahlt werden. Also 3 _ 4 ·208,08·0,02 = 3,12€. Diese Art der Verzinsung vor Ablauf einer Zinsperiode nennt man praktische oder einfache Verzinsung . In diesem Fall werden Silvia insgesamt 208,08 + 3,12 = 211,20€ ausbezahlt. Man könnte aber auch die Zinseszinsformel für eine Laufzeit von 2 + 3 _ 4 = 11 _ 4 Jahren anwenden, also 200·1,02 11 _ 4 berechnen. Diese Art der Verzinsung vor Ablauf einer Zinsperiode nennt man theoretische Verzinsung . In diesem Fall werden Silvia 211,19€ ausbezahlt.  Achtung Beachte, dass wir bei diesem Beispiel stillschweigend davon ausgegangen sind, dass jeder Monat gleich lange dauert. Banken machen diese Vereinfachung tatsächlich. Banken rechnen bei vielen Geldgeschäften das Jahr zu 12 Monaten mit jeweils 30 Tagen. Das führt zu einem Bankjahr mit 360 Tagen. Der 31. Tag eines Monats wird dabei stets wie der 30. Tag behandelt. Verzinst man ein Kapital K 0 für einen Zeitraum von d Tagen (weniger als ein Jahr), so ist beim Zinssatz i bzw. beim Aufzinsungsfaktor q das Endkapital bei praktischer (oder einfacher) Verzinsung : K d _ 360 = K 0 · 2 1 + d _ 360 ·i 3 bei theoretischer Verzinsung : K d _ 360 = K 0 ·q d _ 360 = K 0 ·(1 + i) d _ 360 202 1 000€ werden a. für 5 Monate, b. für 2 Jahre 3 Monate und 14 Tage zu 3% p.a. angelegt. Berechne den Endwert bei theoretischer und bei praktischer Verzinsung. a. 5 Monate sind 5 _ 12 Jahre. theoretische Verzinsung: K 5 _ 12 = 1 000·1,03 5 _ 12  = 1 012,39€ praktische Verzinsung: K 5 _ 12 = 1 000· 2 1 + 5 _ 12 ·0,03 3 = 1 012,50€ b. Wir rechnen in die kleinste vorkommende Einheit, also in Tage um: 2·360 + 3·30 + 14 = 824 Tage. Dieser Zeitraum entspricht 824 _ 360 Jahren. theoretische Verzinsung: K 824 _ 360 = 1 000·1,03 824 _ 360  = 1 069,99€. praktische Verzinsung: Beachte, dass der betrachtete Zeitraum länger als ein Jahr ist, nämlich 2 + 104 _ 360 Jahre. Es ist K 2 = 1 000·1,03 2  = 1 060,90€. Das Endkapital ist daher  K 2 + 104 _ 360  = 1 060,90·  2 1 + 104 _ 360 ·0,03 3  = 1 070,09€. Achtung Wir haben in den Musteraufgaben die Ergebnisse immer abgerundet. Es ist üblich, dass Banken Geldbeträge, die sie ihren Kundinnen und Kunden zu zahlen haben, grundsätzlich auf den vollen Cent-Betrag abrunden. Im Gegenzug werden diejenigen Geldbeträge, welche die Kundinnen und Kunden der Bank zu zahlen haben, immer aufgerundet. Bankjahr praktische (einfache) und theoretische Verzinsung B Endwert bei theoretischer und praktischer Verzinsung berechnen tns k6t6ei 2.2 Zinseszinsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv