Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

46 2.2 Zinseszinsrechnung Ich lerne die Zinseszinsformel kennen und situationsgerecht anzuwenden. Ich lerne den Unterschied zwischen praktischer und theoretischer Verzinsung kennen und ich lerne diese Kenntnis auf Fragestellungen der Finanzmathematik anzuwenden. Zinsen und Zinseszinsen Florian gibt einer Bank 1 000€ und vereinbart, dass er nach einem Jahr nicht nur sein Geld, sondern zusätzlich noch 2% davon, also 20€, bekommt. Man sagt, dass Florian für sein Kapital pro Jahr 2% Zinsen bekommt, kurz: 2% p.a. Der Zusatz p. a. beim Zinssatz ist die Abkürzung für „ pro anno “ – auf Deutsch: „pro Jahr“. Die 1 000€ sind das Anfangskapital von Florian, die 1 020€, die er nach einem Jahr erhält, das Endkapital . Statt Anfangskapital sagt man auch Barwert , statt Endkapital Endwert . Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. angelegt, dann erhält man nach einem Jahr das Kapital K 1 = K 0 + p _ 100 ·K 0 = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 = K 0 ·q . K 0 heißt Anfangskapital oder Barwert , K 1 heißt Endkapital oder Endwert (nach einem Jahr). Die Zahl p heißt Zinsfuß , die Zahl i = p _ 100 = p% heißt Zinssatz (i für das englische interest rate) und die Zahl q = 1 + p _ 100 = 1 + i heißt Aufzinsungsfaktor . Beispiel: Dem Zinssatz i = 3,5% = 0,035 entspricht der Zinsfuß p = 3,5 und der Aufzinsungsfaktor q = 1 + i = 1,035. Wenn Florian sein Kapital nach einem Jahr nicht abholt, sondern ein weiteres Jahr zu 2% p.a. auf dem Sparbuch lässt, erhält er nach dem zweiten Jahr 102% von 1 020€, also 1 040,40€. Die Zinsen des ersten Jahres werden im zweiten Jahr auch verzinst. Wir sprechen daher vom Zinseszins . Wegen 1 020 = 1 000·1,02 ist der Endwert nach zwei Jahren 1 000·1,02 2 €. Nach 3 Jahren erhält er 102% von 1 040,40€ bzw. 1 000·1,02 3 = 1 061,21€. Allgemein gilt: Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. so angelegt, dass es jedes Jahr um die Zinsen vergrößert wird, dann ist das Kapital nach n Jahren gleich K n = K 0 ·q n . K 0 heißt Anfangskapital oder Barwert , K n das Endkapital oder Endwert (nach n Jahren) und q = 1 + p _ 100 ist der Aufzinsungsfaktor . Manchmal wird nicht nach einem Jahr, sondern zum Beispiel schon nach einem Monat verzinst. Die Zeiteinheit, nach der verzinst wird, heißt Zinsperiode . Dann ist K n = K 0 ·q n das Kapital nach n Zinsperioden. Achtung Zinsen werden stets auf einen vollen Cent-Betrag abgerundet! Barwert Endwert Zinsfuß Zinssatz Aufzinsungs- faktor Zinseszins- formel Barwert, End- wert, Aufzin- sungsfaktor Zinsperiode Zins- und Zinseszinsrechnung Nur Z zu D Prüfzwecken · – Eigentum des Verlags öbv