Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

43 Die Summenformel einer endlichen geometrischen Reihe Herr Moser bietet einem neuen Mitarbeiter folgendes Gehaltsschema für den ersten Monat an: Am ersten Tag erhält der Mitarbeiter 10€, an jedem folgenden Tag wird dieser Betrag um 25% erhöht (die Wochenenden werden auch bezahlt). Die ersten 7 Beträge lassen sich durch eine geometrischen Folge beschreiben: (10; 12,5; 15,63; 19,53; 24,41; 30,52; 38,15) Ist es möglich herauszufinden, welchen Betrag Herr Moser in 30 Tagen insgesamt auszahlen muss, ohne zuvor sämtliche 30 Einzelbeträge zu berechnen? Wir überlegen uns: Die einzelnen Summanden bilden die geometrische Folge (10, 10·1,25, 10·1,25 2 , 10·1,25 3 , …, 10·1,25 29 ). Wir suchen das 30. Glied der zugehörigen geometrischen Reihe. Das n-te Glied der zur geometrischen Folge (a, a·q, a·q 2 , a·q 3 , …, a·q n – 1 ) gehörenden geometrischen Reihe ist a + a·q + a·q 2 + a·q 3 + … + a·q n – 1 = a·(1 + q + q 2 + q 3 + … + q n – 1 ). Die Summe 1 + q + q 2 + q 3 + … + q n – 1 bezeichnen wir mit s n : s n = 1 + q + q 2 + q 3 + … + q n – 1 Um s n zu berechnen, bedienen wir uns eines kleinen Tricks. Wir bilden zunächst das Produkt s n ·q = q + q 2 + q 3 + q 4 + … + q n – 1 + q n . Es fällt auf, dass die Summanden von s n ·q mit Ausnahme von q n ebenfalls in s n vorkommen. Wir bilden daher die Differenz dieser beiden Summen und erhalten s n ·q – s n = (q + q 2 + q 3 + q 4 + … + q n – 1 + q n ) – (1 + q + q 2 + q 3 + … + q n – 1 ) = q n – 1 . Wir lösen die Gleichung s n ·q – s n = q n – 1 nach s n auf und erhalten s n · (q – 1) = q n – 1 s n = q n – 1 _ q – 1 . Das n-te Glied der geometrischen Reihe ist daher a·s n = a· q n – 1 _ q – 1 . Herr Moser muss bis zum Monatsende 10· 1,25 30 – 1 __ 1,25 – 1 = 32271,74€ auszahlen! Wenn a ≠ 0, q ≠ 0 und q ≠ 1 ist, dann ist die Summe der n Folgenglieder der geometrischen Folge  (a, a·q, a·q 2 , a·q 3 , …, a·q n – 1 ) a + a·q + a·q 2 + a·q 3 + … + a·q n – 1 = a· q n – 1 _ q – 1 . Diese Summe ist das n-te Glied der zur gegebenen Folge gehörenden geometrischen Reihe. 159 Berechne die ersten drei Folgenglieder und das 30. Folgenglied der geometrischen Reihe mit Anfangsglied 1 _ 2 und Quotient 4. Die ersten drei Glieder der endlichen geometrischen Folge sind 1 _ 2 , 2, 8, die ersten drei Glieder der zugehörigen Reihe sind daher 1 _ 2 , 5 _ 2 , 21 _ 2 . Das 30. Glied dieser geometrischen Reihe ist 1 _ 2 · 4 30 – 1 _ 4 – 1  ≈ 1,92·10 17 . 160 Berechne die ersten fünf Folgenglieder der geometrischen Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q. a.  a = 4; q = 0,5    b.  a = 3; q = 2    c.  a = ‒ 5; q = 3    d.  a = 2048; q =   1 _ 2 161 Entscheide, ob die endliche Folge eine geometrische Folge ist. Wenn ja, berechne die Summe der ersten vier Folgenglieder. a. (3, 8, 13, 18) c. (1, 3, 9, 27)    e. 2 9, 3, 1,   1 _ 3 3 b. (8, 6, 4, 2) d. (1, 2,5, 4, 5,5) f. (3, 12, 48, 192) 162 Begründe, warum man die Summe 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1 458 + 4374 mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen berechnen kann, und berechne die Summe. Summenformel für eine endliche geometrische Reihe Folgenglieder einer geometrischen Reihe berechnen B B , B, C , B, D , 2.1 Endliche geometrische Folgen und Reihen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags 5 öbv