Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

40 2.1 Endliche geometrische Folgen und Reihen Ich lerne endliche geometrische Folgen und Reihen kennen. Ich lerne die Summenformel endlicher geometrischer Reihen kennen und sie auf Fragestellungen des Alltags anzuwenden. Endliche Folgen und Reihen Frau Flamini ist zehn Tage lang dienstlich mit dem Firmenwagen unterwegs. Für die Abrechnung notiert sie jeden Tag die Anzahl der gefahrenen Kilometer. Zehn Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeschrie- ben werden, nennt man ein 10-Tupel oder eine endliche Folge mit 10 Folgengliedern . Frau Flamini schreibt die Folge der Tageskilometer in der Form (45, 23, 14, 33, 11, 37, 0, 49, 16, 33). Zugleich schreibt sie jeden Tag auf, wie viele Kilometer sie insgesamt gefahren ist: (45, 45 + 23 = 68, 45 + 23 + 14 = 82, …, 45 + 23 + 14 + … + 16 + 33 = 261). Diese Folge nennt man die endliche Reihe der Folge der Tageskilometer. Ist n eine positive ganze Zahl und sind a 1 , a 2 , …, a n reelle Zahlen, dann nennt man das n-Tupel (a 1 , a 2 , …, a n ) auch eine endliche Folge (mit n Folgengliedern). Die Zahl a i heißt das Folgenglied mit Index i . Häufig wird 0 als erster Index gewählt, dann hat die endliche Folge (a 0 , a 1 , …, a n ) insgesamt n + 1 Folgenglieder. Die endliche Folge (a 1 , a 1 + a 2 , …, a 1 + a 2 + … + a n ) nennt man die endliche Reihe der Folge (a 1 , a 2 , …, a n ). Philip bekommt von seiner Oma zu Neujahr ein Sparschwein geschenkt. Sie wirft am 1. Jänner 10 Cent ins Sparschwein und verspricht, am ersten jeden Monats dieses Jahres den Betrag im Sparschwein zu verdoppeln. Kann sich Philip am Jahresende eine Tafel Schokolade, eine Kino- karte, ein neues Handy oder ein neues Snowboard kaufen? Wir schreiben die Folge mit 12 Folgengliedern an, deren i-tes Folgenglied der Betrag in Euro im Sparschwein zu Beginn des i-ten Monats ist: 2 1 _ 10 , 2 _ 10 , 4 _ 10 , 8 _ 10 , 16 _ 10 , 32 _ 10 , 64 _ 10 , 128 _ 10 , 512 _ 10 , 1024 _ 10 , 2048 _ 10 , 4096 _ 10 3 . Philip besitzt also am 1. Dezember 409,60€! Wir haben diese endliche Folge erhalten, indem wir  (ausgehend von 1 _ 10 ) aus jedem Folgenglied das nächste durch Multiplikation mit 2 berechnet haben. Der Quotient eines Folgengliedes und seines Vorgängers ist dann immer dieselbe Zahl, nämlich 2. Eine solche Folge nennen wir eine geometrische Folge mit Anfangsglied 1 _ 10 und Quotient 2. Zu je zwei reellen Zahlen a ≠ 0 und q ≠ 0 erhalten wir die Folge (mit n Folgengliedern) (a, a·q 1 , a·q 2 , …, a·q n – 1 ). Diese endliche Folge nennt man endliche geometrische Folge mit Anfangsglied a und Quotient q . Die Anweisung „Beginne mit einem Anfangsglied a und erhalte dann jedes Folgenglied aus seinem Vorgänger durch Multiplikation mit q“ nennt man Bildungsgesetz einer geometrischen Folge. Es lässt sich auch kurz angeben: a n = a · q n – 1 Die endliche Folge (a, a + a·q 1 , a + a·q 1 + a·q 2 , …, a + a·q 1 + a·q 2 + … + a·q n – 1 ) nennt man die endliche geometrische Reihe der Folge (a, a·q 1 , a·q 2 , …, a·q n – 1 ). endliche Folge endliche Reihe endliche geometrische Folge endliche geometrische Reihe Zins- und Zinseszinsrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv