Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

38 136 Das radioaktive Schwefelisotop 35 S hat eine Halbwertszeit von 87,5 Tagen. a. Berechne, wie viel Prozent einer vorhandenen 35 S-Masse pro Tag zerfallen. b. Gib an, wie lange es dauert, bis nur noch 1% der ursprünglichen 35 S-Masse vorhanden ist. 137 Überprüfe, welche der Aussagen richtig sind. Begründe. A Wenn 0 < a < 1 und t < 0 ist, dann ist a t < 1. B Wenn a > 1 und t < 0 ist, dann ist a t < 1. C Die Exponentialfunktion zur Basis a ist streng monoton wachsend für a > 1. D Die Exponentialfunktion zur Basis a ist streng monoton fallend für a > 1. 138 Auf einem Weihnachtsmarkt wird der Punschbehälter regelmäßig aufgefüllt, und zwar immer dann, wenn nur noch 10% Restmenge im Behälter enthalten sind. Wie viel Punsch der ersten Füllung sind prozentuell nach einer gewissen Anzahl von Auffüllungen noch vorhanden? a. Finde eine Funktion, die die prozentuelle Restmenge der Erstfüllung nach t Füllungen beschreibt. b. Zeichne den Graphen dieser Funktion. c. Wie viel Prozent der Erstfüllung sind nach 10 Füllungen noch vorhanden? Berechne. d. Bestimme, wann nur noch 0,1% der Erstfüllung vorhanden sind. 139 Erstelle für die Exponentialfunktion zur Basis 1 _ 4  eine Wertetabelle im Intervall [‒ 3; 3] und zeichne  den Graphen der Funktion über diesem Intervall. 140 Ein Kapital von 800000€ wird zu einem Zinssatz von 3,5% p.a. angelegt. a. Berechne, auf welchen Betrag dieses Kapital nach 4 Jahren angewachsen ist. b. Ermittle, wie lange es dauert, bis dieses Kapital auf 1 Million Euro angewachsen ist. 141 Radon hat eine Halbwertszeit von 3,8 Tagen. a. Gib an, wie viel von 12g Radon nach 14 Tagen noch übrig sind. b. Ermittle, wie lange es dauert, bis nur noch 1‰ der ursprünglichen Radonmenge erhalten ist. c. Berechne, um wie viel Prozent die Radonmenge täglich abnimmt. 142 Ein neues kostenloses Spiel für Smartphones verbreitet sich rasant. Eine Woche nach Erscheinen (t = 0) besitzen erst 700 Personen dieses Spiel. Eine Woche später (t = 1) sind es bereits 1 900. Fin- de eine Funktion, die jeder positiven Zahl t die Anzahl der Personen zuordnet, die nach t Wochen dieses Spiel besitzen. a. Nimm zunächst an, dass die Verbreitung dieses Spiels dem exponentiellen Wachstum folgt. Ermittle die Wachstumsfunktion f mit f(t) = c·a t . b. Schätze mithilfe der Funktion aus Aufgabe a. , wie viele Personen bei exponentiellem Wachs- tum nach 10 Wochen dieses Spiel besitzen werden. c. Gib an, wie lange es bei exponentiellem Wachstum dauern wird, bis 1 Million Personen dieses Spiel besitzen. d. Aus Erfahrungen mit ähnlichen Spielen weiß man, dass die Zielgruppe für dieses Spiel etwa 4,5 Millionen Personen ausmacht. Das Wachstum kann daher auf lange Sicht nicht wirklich exponentiell sein. Vermutlich wird die Verbreitung dieses Spiels eher dem logistischen Wachs- tum folgen. Ermittle die Wachstumsfunktion y mit y(t) = K _ 1 + c·a t . e. Schätze nun, wie viele Personen bei logistischem Wachstum nach 10 Wochen dieses Spiel besitzen werden. f. Gib an, wie lange es bei logistischem Wachstum dauern wird, bis 90% der Zielgruppe dieses  Spiel besitzen. g. Stelle die Graphen der exponentiellen und der logistischen Wachstumsfunktion in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Ermittle, ab der wievielten Woche sich die beiden Modelle erstmals deutlich voneinander unterscheiden. A, B , D , A, B , B , A, B , A, B , A, B, C ; Zusammenfassung: Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv