Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

36 Zusammenfassung Für eine positive reelle Zahl a heißt die Funktion exp a : R ¥ R : x ¦ a x Exponentialfunktion zur Basis a. Häufig verwenden wir als Basis die Eulersche Zahl e, die nicht rational ist und zwischen 2,718 und 2,719 liegt. Die Exponentialfunktion zur Basis a ist streng monoton wachsend, wenn a > 1 ist und streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1 ist. Es ist exp a (x + 1) = a·exp a (x). Die Funktion log a : R + ¥ R : x ¦ log a (x) heißt Logarithmusfunktion zur Basis a und ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a. Die Logarithmusfunktion zur Basis a ist monoton wachsend, wenn a > 1 und monoton fallend, wenn a < 1 ist. Beschreibt man einen Vorgang durch eine Funktion N, dann spricht man … … von linearem Wachstum , wenn die Funktion N linear und ihre Änderungsrate positiv ist. … von linearer Abnahme , wenn die Funktion N linear und ihre Änderungsrate negativ ist. … von exponentiellem Wachstum bzw. exponentieller Abnahme , wenn die Funktion ein positives Vielfaches einer Exponentialfunktion und streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist: N(t) = N 0 ·q t bzw. N(t) = N 0 ·e λ ·t , wobei λ = ln(q). … von beschränktem (oder gebremstem ) Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitions- bereich gilt: N(t) = K·(1 – c·a t ) bzw. N(t) = K·(1 – c·e λ t ) wobei K, c und a positive reelle Zahlen sind mit 0 < a < 1 und λ = ln(a). … von logistischem Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitionsbereich gilt: N(t) = K _ 1 + c·a t bzw. N(t) = K __ 1 + c·e λ t wobei K, c und a positive reelle Zahlen sind mit 0 < a < 1 und λ = ln(a). Beim beschränkten und logistischen Wachstum liegt für genügend große Zahlen t der Funktions- wert N(t) sehr nahe bei K, ist aber immer kleiner als K. Die Zahl K heißt die Kapazitätsgrenze des Wachstumsprozesses. Beschreibt die Funktion N eine exponentielle Abnahme, dann nennt man die Zahl τ mit N( τ ) = 1 _ 2 N(0) die Halbwertszeit und die Zahl λ = ln(2) _ τ die Zerfallskonstante . Lineares Exponentielles Beschränktes Logistisches Wachstum Wachstum Wachstum Wachstum Exponential- funktionen Logarithmus- funktionen Wachstums- und Abnahme- prozesse N(t) t N 0 N N(t) t N 0 N N(t) t N 0 K N N(t) t N 0 K N Zusammenfassung: Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum ·q ) w des Verlags öbv