Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

34 121 Eine brisante Nachricht verbreitet sich sehr schnell in der Schulgemeinde. Wissen zunächst nur 10 Personen Bescheid, kennen bereits eine Stunde später doppelt so viele Personen diese Nachricht. Die Schulgemeinde besteht aus 2000 Personen. a. Nimm für die Verbreitung der Nachricht logistisches Wachs- tum an und finde eine Funktion, die die Anzahl der Infor- mierten beschreibt. b. Stelle den Graphen der Funktion aus Aufgabe a. dar. c. Bestimme, wie viele Personen nach 5 Stunden von der Nachricht wissen. d. Berechne, wie lange es dauert, bis 50% der Mitglieder der Schulgemeinde von der Nachricht wissen. e. Ermittle, wie viele Personen nach 24 Stunden von der Nachricht wissen. f. Argumentiere, welche Annahmen getroffen werden müssen, damit das in Aufgabe e. erhal- tene Ergebnis mit der Realität übereinstimmt. Hältst du diese Annahmen für realistisch? Begründe. 122 Ein äußerst aggressiver Computervirus verbreitet sich rasant. Gestern (t = 0) waren erst 4% aller Computer weltweit infiziert, heute (t = 1) sind es bereits 6% aller Computer. a. Nimm für die Anzahl der vom Virus befallenen Computer logistisches Wachstum an. Bestimme die Funktion, die den Prozentsatz der befallenen Computer beschreibt. b. Zeichne den Graphen der Funktion für 0 bis 20 Tage. c. Bestimme, wie viel Prozent aller Computer am 4. Tag befallen sein werden. d. Berechne, wann 50% aller Computer weltweit befallen sein werden. e.  Ermittle, wie lange es dauern wird, bis 99,5% aller Computer befallen sein werden. f. Ist das Modell realistisch? Begründe. 123 Auf einer abgeschiedenen Insel werden 10 Kaninchen ausgesetzt. Da die Kaninchen auf dieser Insel keine natürlichen Feinde haben, wächst ihre Anzahl pro Monat um 20%. a. Nimm zunächst an, dass die Anzahl der Kaninchen exponen- tiell wächst. Bestimme die Funktion N exp , die die Anzahl der Kaninchen nach t Monaten unter diesen Voraussetzungen beschreibt. b. Man vermutet, dass der Platz und das Nahrungsangebot auf dieser Insel für maximal 8000 Kaninchen ausreichen. Nimm daher an, dass die Anzahl der Kaninchen logistisch wächst und bestimme die Funktion N log , die die Anzahl der Kaninchen nach t Monaten unter diesen Vor- aussetzungen beschreibt. c. Stelle die Graphen von N exp und N log in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Untersu- che, nach wie vielen Monaten sich die beiden Modelle erstmals deutlich voneinander unter- scheiden. 124 Ein neuer Mobilfunkbetreiber „Quattro“ möchte in Österreich Fuß fassen und schätzt das Marktpotenzial auf ca. 600000 Kundinnen und Kunden. Er startet die Markteinführung mit einem Gewinnspiel, bei dem 1 000 Handys mit jeweils einer SIM-Karte von Quattro verschenkt werden. Drei Monate später sind durch günstige Tarifangebote bereits 30000 Handys von „Quattro“ im Umlauf. a. Nimm für die Anzahl der sich nach t Monaten im Umlauf befindlichen Handys von Quattro logistisches Wachstum an und zeichne den zugehörigen Graphen. Lies aus der Zeichnung ab, nach wie vielen Monaten in etwa der angestrebte Marktanteil erreicht wird. b. Nach weiteren drei Monaten stellt sich heraus, dass das Wachstum keinesfalls logistisch erfolgt. Man nimmt nun an, dass in Wirklichkeit beschränktes Wachstum vorliegt. Durch welche Funktion lässt sich das beschränkte Wachstum modellieren? Zeichne ihren Graphen in ein Koordinatensystem und gib an, wann nun das angestrebte Marktpotential erreicht wird. A, B , A, B, D , A, B, C , A, C , Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv