Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

33 118 In Monaco wurden bisher 50 Luxusautos einer bestimmten Marke verkauft. Durch gezielte Marketingaktionen beim Zielpublikum nehmen die Verkaufszahlen derzeit um 4% pro Monat zu. Das Management geht davon aus, dass man in Monaco maximal 800 Luxusautos absetzen kann. a. Argumentiere, warum die Anzahl der in Monaco verkauften Luxusautos durch eine logistische Wachstumsfunktion (die jeder positiven Zahl t die Anzahl der verkauften Autos nach t Mona- ten zuordnet) beschrieben werden kann. b. Bestimme diese Wachstumsfunktion N. c. Berechne, wie viele Luxusautos nach 2 Jahren insgesamt verkauft wurden. a. Da die Anzahl der verkauften Luxusautos jeden Monat um 4% wächst, ist das Wachstum anfangs exponentiell. Da es eine Kapazitätsgrenze gibt, ist es voraussichtlich logistisch. b. Mit K = 800 erhalten wir N(t) = 800 _ 1 + c·a t . Zu Beginn sind es 50 Autos, also ist N(0) = 50 und 800 __ 1 + c·a 0 = 50 |·(1 + c·a 0 ) 800 = 50 (1 + c) | : 50 16 = 1 + c | – 1 15 = c Somit ist N(t) = 800 __ 1 + 15·a t . Nach einer Woche ist die Anzahl der verkauften Luxusautos um 4% gestiegen. Da 50·1,04 = 52 ist, muss N(1) = 52 sein. 800 _ 1 + 15a 1 = 52 |·(1 + 15a 1 ) 800 = 52 + 780a | – 52 748 = 780a | : 780 748 _ 780 = a Also ist die Wachstumsfunktion N mit N(t) = 800 __ 1 + 15· 2 748 _ 780 3 t . c. 2 Jahre sind 24 Monate. Daher berechnen wir N(24) = 123,3. Nach 2 Jahren wurden vermutlich insgesamt 123 Luxusautos verkauft. 119 In einem Teich leben derzeit 200 Fische. Der Fischbestand nimmt zu Beginn wöchentlich um 5% zu. Man geht davon aus, dass dieser Teich Lebensraum für maximal 2000 Fische bietet. a. Argumentiere, warum das Wachstum des Fischbestandes durch eine logistische Wachstumsfunktion (die jeder positiven Zahl t die Anzahl der Fische nach t Wochen zuordnet) beschrieben werden kann. b. Bestimme diese Wachstumsfunktion N. c. Berechne, wie viele Fische sich voraussichtlich nach 10 Wochen in diesem Teich befinden. 120 Eine Seuche verbreitet sich unter den Bewohnerinnen und Bewohnern eines abgeschiedenen Dorfes. Momentan sind 80 der 1 400 Bewohnerinnen und Bewohner erkrankt und die Zahl der Kranken nimmt täglich um durchschnittlich 10% zu. a. Beschreibe die Anzahl der nach t Tagen erkrankten Personen durch eine logistische Wachs- tumsfunktion. b. Berechne, wie viele Einwohnerinnen und Einwohner nach 14 Tagen erkrankt sind. c. Ermittle, wie lange es dauert, bis die Hälfte aller Bewohnerinnen und Bewohner dieses Dor- fes an der Seuche erkrankt sind. einen Vorgang mit logistischem Wachstum modellieren A, B, D A, B, D , A, B , 1.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Nur zu Prüfzwecken 2 – Eigentum p z des Verlags r öbv