Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

31 111 Untersuche anhand des Graphen, ob beschränktes oder logistisches Wachstum angenommen werden kann, und gib dann die Zuordnungsvorschrift der Funktion an. a. b. c. d. 112 Wer schon einmal ein Sammelalbum für Sticker besessen hat, kennt das folgende Phänomen: Anfangs kann man noch jeden Sticker, den man erhält, einkleben (das Sammelalbum füllt sich sozusagen linear). Je mehr Sticker allerdings bereits eingeklebt sind, desto schwieriger wird es, noch welche zu finden, die sich noch nicht im Sammelalbum befinden. Die Anzahl der Sticker im Album wächst somit gebremst. Paul besitzt ein Sammelalbum für 360 Sticker, in einer Packung befinden sich jeweils 4 Sticker. Wir gehen davon aus, dass Paul seine überzähligen Sticker mit niemandem gegen noch fehlende Sticker tauscht. a. Gib die beschränkte Wachstumsfunktion N an, die der Anzahl t an gekauften Sticker-Packun- gen die Anzahl N(t) der Sticker zuordnet, die sich nach dem Kauf dieser Packung insgesamt im Sammelalbum befinden. b. Berechne, wie viele Packungen Paul kaufen muss, bis 200 Sticker in seinem Album kleben. c. Erkläre, worin das Problem besteht, zu berechnen, nach wie vielen gekauften Packungen das Sammelalbum voll ist. a. Die Kapazitätsgrenze ist K = 360, daher muss N(t) = 360·(1 – c·a t ) sein. Da das Album zu Beginn leer ist, ist N(0) = 0. Daher ist 360·(1 – c·a 0 ) = 0 360·(1 – c) = 0 c = 1. Somit ist N(t) = 360·(1 – a t ). Da von der ersten gekauften Packung noch alle 4 Sticker eingeklebt werden können, ist N(1) = 4 und wir erhalten 360·(1 – a 1 ) = 4 | : 360 1 – a = 1 _ 90 a = 89 _ 90 . Die beschränkte Wachstumsfunktion ist N mit N(t) = 360· 2 1 – 2 89 _ 90 3 t 3 . b. Es muss N(t) = 200 sein. Wir lösen die Gleichung 360· 2 1 – 2 89 _ 90 3 t 3 = 200 durch Umformen und Logarithmieren oder mit Technologieeinsatz und erhalten t ≈ 72,58. Paul muss ca. 73 Packungen kaufen, um 200 Sticker in sein Album kleben zu können. c. Die Funktionswerte von N kommen der Kapazitätsgrenze von 360 zwar beliebig nahe, erreichen sie aber nie. Die Gleichung 360· 2 1 – 2 89 _ 90 3 t 3 = 360 hat keine Lösung. In der Realität ist es aber durchaus möglich, dass das Album voll wird. C , t in h N(t) in Stk. 10 2 3 54 0 300 150 450 600 N (1 1 450) t in h N(t) in Stk. 20 4 6 108 0 400 200 600 800 N (1 1 333) t in h N(t) in Stk. 10 2 3 54 0 200 100 300 400 N (2 1 313) t in h N(t) in Stk. 20 4 6 108 0 500 250 750 1000 N (1 1 520) einen Vorgang mit gebremstem Wachstum modellieren A, B, D 1.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum . des Verlags öbv