Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

30 110 Untersuche anhand des Graphen, ob beschränktes oder logistisches Wachstum vorliegt, und gib die Zuordungsvorschrift der Funktion an. a. b. a. Der Graph verläuft zunächst annähernd linear und die Funktionswerte nähern sich dann der Zahl 400. Es liegt daher nahe, beschränktes Wachstum anzunehmen. Die Funktion hat also die Form N mit N(t) = K·(1 – c·a t ). Durch Ablesen erhält man die Kapazitätsgrenze K = 400 und N(0) = 100. Wegen N(0) = K·(1 – c·a 0 ) ist N(0) = K – c·K c·K = K – N(0) c = K – N(0) __ K = 400 – 100 __ 400 = 3 _ 4 . Um a zu bestimmen, lesen wir den Punkt (1 1 250) des Graphen ab und erhalten 250 = 400· 2 1 – 3 _ 4 ·a 1 3 , also a = 400 – 250 __ 400· 3 _ 4 = 1 _ 2 . Daher ist N(t) = 400· 2 1 – 3 _ 4 · 2 1 _ 2 3 t 3 . b. Der Graph verläuft zunächst exponentiell und die Funktionswerte nähern sich dann der Zahl 600. Es liegt daher nahe, logistisches Wachstum anzunehmen. Die Funktion hat also die Form N mit N(t) = K _ 1 + c·a t . Durch Ablesen erhält man die Kapazitätsgrenze K = 600 und N(0) = 100. Wegen N(0) = K __ 1 + c·a 0 ist N(0)·(1 + c) = K c = K – N(0) __ N(0) c = 600 – 100 __ 100 = 5. Um a zu bestimmen, lesen wir den Punkt 2 1 1 800 _ 3 3 des Graphen ab und erhalten 800 _ 3 = 600 _ 1 – 5·a 1 und a = 1 _ 4 . Daher ist N(t) = 600 __ 1 + 5· 2 1 _ 4 3 t . die Zuordnungs- vorschrift einer Funktion aus ihrem Graphen bestimmen C t in h N(t) in Stück 0 100 200 300 400 5 4 6 7 3 2 1 0 N (1 1 250) t in h N(t) in Stück 0 300 100 200 600 400 500 54 6 7 8 9 10 32 1 0 N 800 3 1 1 ( ) t in h N(t) in Stück 0 100 200 300 400 5 4 6 7 3 2 1 0 N (1 1 250) t in h N(t) in Stück 0 300 100 200 600 400 500 54 6 7 8 9 10 32 1 0 N 800 3 1 1 ( ) Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken a , 2 . – Eigentum des Verlags öbv