Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

29 104 Das Diagramm stellt ein lineares, beschränktes, exponentielles oder logistisches Wachstum dar. Interpretiere, welches Wachstum dargestellt wird. a. b. c. 105 Untersuche, ob durch die Funktion f ein Vorgang mit exponentiellem Wachstum, exponentieller Abnahme, beschränktem Wachstum oder logistischem Wachstum beschrieben wird. a. f(t) = 2 __ 3 + 4·2 ‒2t b. f(t) = 1,23·e ‒t c. f(t) = 3 2 – 5· 2 1 _ 2 3 2t d. f(t) = 2 1 _ 3 3 ‒  t _ 2 a. f(t) = 2 __ 3 + 4·2 ‒2t = 2 _ 3 __ 1 + 4 _ 3 ·2 ‒2t = 2 _ 3 __ 1 + 4 _ 3 ·(2 ‒2 ) t = 2 _ 3 __ 1 + 4 _ 3 · 2 1 _ 4 3 t Daher beschreibt f einen Vorgang mit logistischem Wachstum mit Kapazitätsgrenze 2 _ 3 , c = 4 _ 3 > 0 und 0 < a = 1 _ 4 < 1. b. f(t) = 1,23·e ‒t = 1,23· 2 1 _ e 3 t Weil 1 _ e < 1 ist, beschreibt f einen Vorgang mit exponentieller Abnahme. c. f(t) = 3 2 – 5· 2 1 _ 2 3 2t  = 9·  2 1 – 5 _ 9 · 2 1 _ 2 3 2t 3  = 9·  2 1 – 5 _ 9 · 2 1 _ 4 3 t 3 Daher beschreibt f einen Vorgang mit beschränktem Wachstum mit Kapazitätsgrenze 9,  c = 5 _ 9 > 0 und 0 < a = 1 _ 4 < 1. d. f(t) = 2 1 _ 3 3 ‒  t _ 2 = 3 t _ 2 = 9 _ 3 t Weil 9 _ 3 > 1 ist, beschreibt f einen Vorgang mit exponentiellem Wachstum. 106 Untersuche, ob durch die Funktion f ein Vorgang mit exponentiellem Wachstum, exponentieller Abnahme, beschränktem Wachstum oder logistischem Wachstum beschrieben wird. a. f(t) = 2,52·e t b. f(t) = 5 __ 3 + 4·3 ‒t c. f(t) = 2 – 4·0·0,3 t d. f(t) = 3·0,5 t 107 Untersuche, ob die Funktion ein exponentielles, ein beschränktes oder ein logistisches Wachstum bzw. eine exponentielle Abnahme beschreibt. Gib im Falle eines beschränkten oder logistischen Wachstums die Kapazitätsgrenze an. a. Spannungsverlauf beim Laden eines Kondensators: U(t) = U 0 · 2 1 – e ‒  t _ RC 3 b. Ladestrom eines Kondensators: I(t) = U _ R ·e ‒  t _ R·C c. Temperaturverlauf beim Erwärmen von T R auf T K : T(t) = T K – (T K – T R )·e ‒  t _ π d. Größe einer Kaninchenpopulation zur Zeit t: f(t) = K·A ___ A + (K – A)·e ‒a·t 108 Um den Zeitpunkt des Todes zu bestimmen, wird häufig die Körpertemperatur des Leichnams gemessen. Für eine konstante Umgebungstemperatur von 18 °C wurde die Funktion f mit f(t) = 18·(0,8 t + 1) bestimmt, die die Körpertemperatur eines Leichnams t Stunden nach dem Tod angibt. a. Zeichne den Graphen der Funktion für 0 bis 12 Stunden nach dem Tod. b. Berechne, wie hoch die Körpertemperatur zum Todeszeitpunkt ist. c. Bestimme wie lange es dauert, bis ein Körper bei diesen Bedingungen auf 20 °C abkühlt. d. Ermittle, wie lange der Todeszeitpunkt her ist, wenn ein Leichnam eine Temperatur von 25°C hat. 109 Recherchiert gemeinsam, für welche Zusammenhänge Wachstumsmodelle verwendet werden. Welche sind den Gruppen lineares Wachstum, exponentielles Wachstum, beschränktes Wachs- tum und/oder logistisches Wachstum zuzuordnen? Aus welchen wissenschaftlichen Bereichen stammen diese Modelle? Erstellt eine Übersicht und präsentiert sie der Klasse. C , t N(t) 0 5 10 15 20253035404550 0 50 100 150 200 250 t N(t) 4000 0 8000 12000 16000 20000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 N(t) t 0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213 C entscheiden, ob eine Funktion exponentielles, beschränktes oder logistisches Wachstum beschreibt C , C , B , C , 1.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv