Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

28 Beschränktes und logistisches Wachstum Während exponentielle Abnahme beispielsweise beim radioaktiven Zerfall in der Natur auch über lange Zeiträume tatsächlich vorkommt, führt die Beschreibung eines Wachstumsprozesses durch eine Exponentialfunktion zu erheblichen Problemen. Würden sich 42g Hefepilze alle 90 Minuten verdoppeln, so hätten sie nach 2 Tagen bereits eine Masse von mehr als 180000 t. Im Alltag kann man so ein gewaltiges Wachstum allerdings nicht beobachten, weil dafür sowohl der Platz als auch die Nährstoffe fehlen. Es gibt also eine Kapazitätsgrenze , die nicht überschritten werden kann. Verläuft das Wachstum zunächst linear und bremst sich nach einer gewissen Zeit vor Erreichen der Kapazitätsgrenze langsam ein, so spricht man von beschränktem oder gebremstem Wachs- tum . Verläuft das Wachstum zunächst exponentiell und bremst sich vor Erreichen der Kapazitäts- grenze ein, so spricht man von logistischem Wachstum . Beschreibt man einen Wachstumsprozess durch eine Funktion N, dann spricht man … … von beschränktem (oder gebremstem ) Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitions- bereich gilt: N(t) = K·(1 – c·a t ) bzw. N(t) = K·(1 – c·e λ t ) , wobei K, c und a positive reelle Zahlen sind mit 0 < a < 1 und λ = ln(a). … von logistischem Wachstum , wenn für alle Zahlen t im Definitionsbereich gilt: N(t) = K _ 1 + c·a t bzw. N(t) = K __ 1 + c·e λ t , wobei K, c und a positive reelle Zahlen sind mit 0 < a < 1 und λ = ln(a). In beiden Fällen liegt für genügend große Zahlen t der Funktionswert N(t) sehr nahe bei K, ist aber immer kleiner als K. Die Zahl K heißt die Kapazitätsgrenze des Wachstumsprozesses. Beschränktes Wachstum Logistisches Wachstum 101 Stelle mithilfe einer geeigneten Technologie den Graphen der Funktion N mit N(t) = K·(1 – c·a t ) dar. Gehe dabei so vor, dass die Zahlen K, c und a (zum Beispiel mithilfe von Schiebereglern) frei gewählt werden können. Dokumentiere, welchen Einfluss die Zahlen K, c und a auf das Aussehen des Funktionsgraphen haben. 102 Stelle mithilfe einer geeigneten Technologie den Graphen der Funktion N mit N(t) = K _ 1 + c·a t dar. Gehe dabei so vor, dass die Zahlen K, c und a (zum Beispiel mithilfe von Schiebereglern) frei gewählt werden können. Dokumentiere, welchen Einfluss die Zahlen K, c und a auf das Aussehen des Funktionsgraphen haben. 103 Das Diagramm stellt ein lineares, beschränktes, exponentielles oder logistisches Wachstum dar. Interpretiere, welches Wachstum dargestellt wird. a. b. c. beschränktes (gebremstes) Wachstum logistisches Wachstum Kapazitäts- grenze t N(t) N 0 K N t N(t) N 0 K N C , ggb qr7x2k C , C , t N(t) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 20 40 60 80 100 120 t N(t) 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 t N(t) 0 10 20 30 40 50 60 0 4 8 12 16 20 24 Exponential- und Logarithmusfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv