Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

25 Exponentielle Abnahme Bei dem tragischen Unfall im japanischen Kernkraftwerk Fukushima wurden am 11. März 2011 große Mengen an radioaktiven Substanzen freigesetzt, unter anderem das für Menschen gefährliche Cäsium 137 Cs. Cäsium 137 Cs hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Das heißt, innerhalb von 30 Jahren zerfällt die Hälfte der vorhandenen Cäsium-Atome und gibt dabei für den Menschen gefährliche Strahlung ab. Nach weiteren 30 Jahren zerfällt davon wieder die Hälfte, sodass nur noch 1 _ 4 der ursprünglichen 137 Cs-Atome vorhanden ist und so weiter. Wir können diesen Zerfallsprozess durch die Funktion N mit N(t) = N 0 · 2 1 _ 2 3 t _ 30 beschreiben. Dabei ist N(t) die zum Zeitpunkt t Jahre noch vorhandene Anzahl an 137 Cs-Atomen. Da wir die Anzahl der bei der Katastrophe ausgetretenen 137 Cs-Atome natürlich nicht genau ken- nen, geben wir die noch vorhandene Anzahl in Prozent der zur Zeit 0 vorhandenen Anzahl an. Daher ist N 0 = 100 und die Funktion N mit N(t) = 100·0,5 t _ 30 beschreibt den Zerfallsprozess. Sie ist ein positives Vielfaches einer Exponentialfunktion und die Basis ist 0,5 1 _ 30 < 1. Die Funktion ist somit streng monoton fallend und ihr Graph sieht so aus: Wir lesen daraus ab, dass in 100 Jahren noch immer 10% der ausgetretenen 137 Cs-Atome vorhan- den sein werden. Beschreibt man einen Abnahmevorgang durch eine Funktion N, dann spricht man von exponen- tieller Abnahme oder exponentiellem Zerfall , wenn N ein positives Vielfaches einer Exponential- funktion zur Basis 0 < q < 1 ist. Dann ist N(t) = c·q t = c·e ln(q)·t . Dabei ist c = N(0) . und die Funktion N ist streng monoton fallend. Tipp Exponentielle Abnahme liegt vor, wenn eine Größe in gleichen Zeitabständen um denselben Prozentsatz abnimmt, zum Beispiel sich in gleichen Zeitabständen halbiert. Ist bei einem exponentiellen Zerfall nach der Zeit τ nur noch die Hälfte der Ausgangsgröße vor- handen, so nennt man τ die Halbwertszeit dieses Zerfallsprozesses. Die Zahl λ = ln(2) _ τ heißt Zerfallskonstante . Der Bestand N(t) zur Zeit t bei einem Zerfallsprozess ist dann N(t) = N 0 ·0,5 t _ τ bzw. N(t) = N 0 ·2 ‒  t _ τ bzw. N(t) = N 0 ·e ‒ λ ·t . Dabei ist N 0 der Anfangsbestand, τ die Halbwertszeit und λ = ln(2) _ τ die Zerfallskonstante. t in Jahre N(t) in % 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 N exponentielle Abnahme exponentieller Zerfall Halbwertszeit Zerfalls- konstante 1.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv