Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

23 79 Vor dem Backen von Germteig muss eine gewisse „Gehzeit“ eingehalten werden, damit sich die Hefepilze vermehren können. Unter idealen Bedingungen verdoppelt sich die Masse der Hefe- pilze dabei alle 90 Minuten. a. Ermittle die exponentielle Wachstumsfunktion N, die der Zeit t in Minuten die Masse N(t) der vorhandenen Hefepilze in Gramm zuordnet, wenn zu Beginn 42g Hefe vorhanden waren. b. Berechne, wie viel Gramm Hefepilze nach 45 Minuten vorhanden sind. c. Gib an, welche Masse diese Hefepilze nach 2 Tagen haben. Interpretiere dein Ergebnis kritisch. 80 In einer Bakterienkultur befinden sich N 0 Bakterien. Nach 3 Stunden sind es 12500 Bakterien und nach weiteren 2 Stunden 16000 Bakterien. Wir nehmen exponentielles Wachstum an. a. Berechne, wie viele Bakterien es zu Beginn waren. b. Gib an, wie viele Bakterien nach 6,5 Stunden vorhanden sind. c. Argumentiere, wie sich die Zuverlässigkeit des Wachstumsmodells überprüfen lässt. a. Exponentielles Wachstum annehmen bedeutet, dass wir die Funktion N, die jeder Zahl t die Anzahl der Bakterien zur Zeit t (in Stunden) zuordnet, durch das Vielfache einer Exponential- funktion (deren Basis größer 1 ist) beschreiben. Wir nehmen also an, dass es nach t Stunden N(t) = N 0 ·q t Bakterien gibt. Dabei ist N 0 die Anzahl der Bakterien am Anfang und q eine geeignete Zahl > 1. Nach Angabe ist f(3) = 12500 = N 0 ·q 3 und f(5) = 16000 = N 0 ·q 5 . Wir bilden den Quotienten f(5) _ f(3) und erhalten: N 0 ·q 5 _ N 0 ·q 3 = 16000 _ 12500 q 2 = 1,28 q = 9 ___ 1,28 ≈ 1,1314 Aus f(3) = N 0 ·1,1314 3 = 12500 erhalten wir N 0 = 12500 _ 1,1314 3 ≈ 8630. Somit waren es zu Beginn etwa 8630 Bakterien. b. Es ist N(6,5) = 8630·1,1314 6,5  = 19250,   also besteht die Bakterienkultur nach 6,5 Stunden aus ungefähr 19250 Bakterien. c.   Sollte sich beim Abzählen nach 6,5 Stunden herausstellen, dass nicht 19250, sondern zum  Beispiel nur 15000 oder sogar 50000 Bakterien vorhanden sind, dann war die Annahme des exponentiellen Wachstums nicht richtig. 81 Manchen Prognosen entsprechend wächst die Weltbevölkerung exponentiell und wird im Jahre 2050 die 10 Mrd. Menschen Grenze überschreiten. Im Jahr 2000 haben ca. 6 Mrd. Menschen auf der Erde gelebt. a. Gib an, welche jährliche Wachstumsrate dieser Prognose zugrunde liegt. b. Wann werden 20 Mrd. Menschen die Erde bevölkern? Berechne. c. Ermittle, wie viele Menschen es nach diesem Modell im Jahr 2500 geben wird. d. Beurteile, ob das Modell realistisch ist. 82 Elias möchte etwas für seine Fitness tun und beginnt mit einem Lauftraining. Sein Plan ist es, am ersten Tag 20 Minuten durchzulaufen und die von ihm gelaufenen Zeit täglich um 10% zu steigern. a. Gib die Funktion an, die beschreibt, wie viele Minuten Elias am t-ten Tag laufen muss. b. Berechne, wann Elias erstmals eine Stunde lang laufen muss. c. Argumentiere, warum Elias sein geplantes Trainingsprogramm auf lange Sicht unmöglich erfüllen kann. A, B, C , A, B, D mit exponentiellem Wachstum rechnen ggb/tns 3ku8r5 A, B, D , A, B, D , 1.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse Nur zu Prüfzwecken E – Eigentum des Verlags öbv