Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

187 Wichtige Formeln auf einen Blick Potenzen a * R , a ≠ 0, n  * Z , n > 0 a n = a·a·…·a (n > 0 Faktoren) a 0 = 1 a 1 = a a ‒1 = 1 _ a a ‒n = 1 _ a n = 2 1 _ a 3 n Rechenregeln a, b * R , a ≠ 0, b ≠ 0, m, n  * Z a n ·a m = a n + m (a n ) m = a n·m = (a m ) n 2 a _ b 3 n = a n _ b n a n _ a m = a n – m (a·b) n = a n ·b n Wurzeln (Potenzen mit rationalen Exponenten) a, b * R , a > 0, b > 0, m, n, k positive ganze Zahlen a = n 9 _ b É a n = b 9 _ a = 2 9 _ a = a 1 _ 2 a 1 _ n = n 9 _ a a k _ n = n 9 __ a k Rechenregeln n 9 ___ a·b = n 9 _ a· n 9 _ b n 9 __ m 9 a = n·m 9 _ a n 9 _ a _ b = n 9 _ a _ n 9 _ b n 9 __ a k = n·m 9 ___ a k·m Logarithmen a, b, x * R , a > 0, b > 0 a x = b É x = log a (b) log a (1) = 0 log a (a) = 1 log a 2 1 _ a 3  = ‒1   log a (a x ) = x natürlicher Logarithmus: ln(x) = log e (x) Logarithmus zur Basis 10: lg(x)= log 10 (x) Rechenregeln x, y * R + log a (x·y) = log a (x) + log a (y) log a (x y ) = y·log a (x) log a 2 x _ y 3 = log a (x) – log a (y) log a (x) = 1 _ ln(a) ·ln(x) Wachstums- und Abnahmeprozesse Lineares Wachstum: N(t) = N 0 + k·t (k * R ) Exponentielles Wachstum: N(t) = N 0 ·q t (q > 1) N(t) = N 0 ·e λ t mit λ = ln(q) Exponentielle Abnahme: N(t) = N 0 ·0,5 t _ τ ( τ … Halbwertszeit) N(t) = N 0 ·e ‒ λ t mit λ = ln(2) _ τ … Zerfallskonstante Beschränktes Wachstum: N(t) = K·(1 – c·a t )  (0 < a < 1; 0 < c < 1)  N(t) = K·(1 – c·e λ t ) mit λ = ln(a) Logistisches Wachstum: N(t) = K _ 1 + c·a t  (0 < a < 1; c > 0)  N(t) = K __ 1 + c·e λ t mit λ = ln(a) Wichtige Formeln auf einen Blick Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv a a