Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

184 Anhang b. 701,16€ [Der Barwert der Quartalsrente mit q = 4 9 ___ 1,02 ist B = 3000·q· q 20 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 28 = 55043,04€. Dieser Betrag ist gleichzeitig der Barwert der neuen Rente mit q = 12 9 ___ 1,02 und n = 7·12 = 84. Also R·q· q 84 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 84 = 55043,04€. Umformen ergibt R = 55043,04·q 84 : 2 q· q 84 – 1 _ q – 1 3  = 701,16€.] 496. 8,150% p.a. [Nach 72 Monaten ist die Restschuld 0€, daher lösen wir folgende Gleichung: 0 = 45000·q 72 – 780,82·q· q 72 – 1 _ q – 1 Wir erhalten als Lösung den Aufzinsungsfaktor pro Monat q = 1,0065504. Der Aufzinsungsfaktor pro Jahr ist daher q 12  = 1,08150. Daher ist der effektive Jahreszinssatz 8,150% p.a.] 497.  9,711% p.a. [Die Rechtsgeschäftsgebühr beträgt 21583·0,008 =  = 172,66€. Der Barwert aller Zahlungen entspricht dem Kaufpreis: 21583 = 6000 + 172,66 + 255,21· q 48 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 48 + 7554,05 __ q 48 Wir erhalten q = 1,0077534 p.m. Der Jahresaufzinsungsfaktor ist q 12  = 1,09711. Also ist i eff  = 9,711% p.a.] 4.3 Rentenkonvertierung 525. a. B b. C c. C 526. a. 507,28€ [Der Endwert der 5 versäumten Zahlungen mit q = 12 9 ____ 1,0175 ist E = 100·q· q 5 – 1 _ q – 1 = 502,17€. Bis zum Ende des 2. Jahres vergehen noch 7 Monate. Daher ist die einmalige Sonderzahlung S = 502,17·q 7 = 507,28€.] b. 112,04€ [Der Endwert der 5 versäumten Zahlungen E = 502,17€ ist der Barwert der zusätzlich zu bezahlenden Raten R z für die verbleibenden n = 7 + 36 = 43 Monate. Daraus ergibt sich R z = 502,17q 43 : 2 q· q 43 – 1 _ q – 1 3 = 12,04€. Zusammen mit der ursprünglichen Rate sind daher nunmehr monatlich 100€ + 12,04€ = 112,04€ zu zahlen.] 527. a.   1325,96€  [q = 12 9 ____ 1,042 2   ; n = 5·12 = 60; R = 65000·q 60 : 2 q 60 – 1 _ q – 1 3  = 1325,96€] b.  38 Vollraten; Teilrate: 426,79€ [Restschuld nach 2 Jahren: K 24 = 65000·q 24  – 1325,96·  q 24 – 1 _ q – 1 = 42154,57€. 8 Monate aufzinsen: 42154,57·q 8 = 44531,60€. Anzahl der Vollraten: n = ln 2 1325,96 ____ 1325,96 – 44531,60·(q – 1) 3 : ln(q) = 38,32. Es sind daher noch 38 Vollraten zu zahlen. Teilrate gemeinsam mit der letzten Vollrate: T G = K 38 = 44531,60·q 38  – 1325,96·  q 38 – 1 _ q – 1 = 423,87€. Teilrate ein Monat später: T N = K 38 ·q = 423,87·q = 426,79€] 528. a. 38840,80€ [q = 9 ____ 1,0625, n = 8·2 = 16. R = 485000·q 16 : 2 q 16 – 1 _ q – 1 3  = 38840,80€]  b.  28747,97€  [Teilt man die Sonderzahlung auf die verbleibenden 6 Jahre auf, so ergibt sich mit q = 9 ____ 1,0625 und n = 6·2 = 12 eine Rate von R = 100000·q 12 : 2 q 12 – 1 _ q – 1 3  = 10092,83€. Um diesen Betrag reduzie- ren sich die verbleibenden Raten und wir erhalten als neue Rate: 38840,80 – 10092,83 = 28747,97€] 529. a. 2177,41€ [mit q = 12 9 ____ 1,0135 4 erhält man R = 280000q 192 : 2 q 192 – 1 _ q – 1 3  = 2177,41] b. 12 Monate [Die Restschuld am Ende des 3. Jahres ist K 36 = 280000q 36 – 2177,41· q 36 – 1 _ q – 1 = 244028,21€. Zu diesem Betrag muss noch 12000€ addiert werden und man erhält als neuen Schuldenstand 256028,21€. Die Anzahl der verbleibenden Voll- raten ist n = ln 2 2177,41 ____ 2177,41 – 256028,21·(q – 1) 3 : ln(q) = 167,38. Zusammen mit der abschließenden Teilrate dauert die Rückzahlung noch 168 Monate anstelle von ursprünglich 13 Jahren (156 Monaten). Die Verzögerung beträgt 168 – 156 = 12 Monate.] 4.4 Tilgungspläne 548. a. B b. C c. D d. C e. A , C f. B 549. a. Die Annuität ist 50000·1,065 : 2 1,06 5 – 1 __ 1,06 – 1 3  = 11869,82€.  Der Zinsanteil im ersten Jahr beträgt 50000·0,06 = 3000€. Daher ist der Tilgungsanteil 11869,82 – 3000 = 8869,82€ usw. Jahr Zinsanteil Tilgungs- anteil Annuitat Restschuld 0 50000,00€ 1 3000,00€ 8869,82€ 11869,82€ 41130,18€ 2 2467,81€ 9402,01€ 11869,82€ 31728,17€ 3 1903,69€ 9966,13€ 11869,82€ 21762,04€ 4 1305,72€ 10564,10€ 11869,82€ 11197,94€ 5 671,88€ 11197,94€ 11869,82€ 0,00€ b. Die Zinsen im ersten Jahr betragen 50000·0,06 = 3000€. Die Annuität muss somit ebenfalls 3000€ betragen. Im letzten Jahr muss der Tilgungsanteil dem Kreditbetrag von 50000€ ent- sprechen. Zusammen mit den 3000€ Zinsen erhält man als Annuität im 5. Jahr 53000€. Jahr Zinsanteil Tilgungs- anteil Annuitat Restschuld 0 50000,00€ 1 3000,00€ – 3000,00€ 50000,00€ 2 3000,00€ – 3000,00€ 50000,00€ 3 3000,00€ – 3000,00€ 50000,00€ 4 3000,00€ – 3000,00€ 50000,00€ 5 3000,00€ 50000,00€ 53000,00€ – c. Der Tilgungsanteil ist 50000 _ 5 = 10000€, die Zinsen im ersten Jahr betragen wieder 3000€, daher ist die erste Annuität 10000 + 3000 = 13000€ usw. Jahr Zinsanteil Tilgungs- anteil Annuitat Restschuld 0 50000,00€ 1 3000,00€ 10000,00€ 13000,00€ 40000,00€ 2 2400,00€ 10000,00€ 12400,00€ 30000,00€ 3 1800,00€ 10000,00€ 11800,00€ 20000,00€ 4 1200,00€ 10000,00€ 11200,00€ 10000,00€ 5 600,00€ 10000,00€ 10600,00€ – 5 Beschreibende Statistik 5.1 Merkmale und Häufigkeiten 595. a. Cola b. SPÖ c. L 596. 597. Anni Wegmüller 25% Julia Huber 22% Konrad Fischer 32% Hanna Krammer 7% Bernhard Mayerhofer 14% 12500 6500 4500 1130 251 117 Kinder 1 2 3 4 5 6+ n = 24998 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum _ des Verlags öbv