Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

183 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ c. 15 Wochen 415. a. Die Anzahl der Aufkleber im Album wächst zunächst linear und ist nach oben hin begrenzt. Daher wählen wir als Modell das gebremste Wachstum mit N(x) = K(1 – c·a x ). Die Kapazitäts- grenze K ist 250. Aus N(0) = 0 folgt c = 1. Aus N(1) = 5 folgt 250(1 – a) = 5 w a = 49 _ 50 . b. 176 Aufkleber 4 N(60) = 250· 2 1 – 2 49 _ 50 3 60 3  = 175,612 ≈ 176  5 c.  159 Päckchen, um mindestens 1590€  [Die Lösung der Gleichung 250· 2 1 – 2 49 _ 50 3 x 3  = 159,329 ist x ≈ 159. Es  wurde 159-mal mindestens 10€ bezahlt, also mindestens 1590€.] 416. a. B, III b. D, IV c. 3C, II d. A, I 417. a. (4; 6; 9; 13,5; 20,25)   b. 2 8, 4, 2, 1, 1 _ 2 3 418. a n = 480· 2 1 _ 2 3 n – 1 bzw. a 1 = 480, q = 1 _ 2 4 a 1  = 480; q =   a 2 _ a 1 = 240 _ 480 = 1 _ 2 5 419. (2, 6, 14, 30, 62, 126) [(2, 2 + 4, 2 + 4 + 8, 2 + 4 + 8 + 16, 2 + 4 + 8 + 16 + 32, 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) = (2, 6, 14, 30, 62, 126)] 420. Die Summanden bilden eine geometrische Folge mit a 1 = 2 und q = 3. Es sind insgesamt 7 Summanden, daher ist die Summe 2· 3 7 – 1 _ 3 – 1 = 2186. 421. a.  (18200; 18928; 19685,12; 20472,52; 21291,43)  [(18200; 18200·1,04 1 ; 18200·1,04 2 ; 18200·1,04 3 ; 18200·1,04 4 ) = = (18200; 18928; 19685,12; 20472,52; 21291,43)] b.  541961,03  [a 1  = 18200; q = 1,04; n = 20; 18200· 1,04 20 – 1 __ 1,04 – 1  = 541961,03] c.  Frau P. verdient innerhalb von 20 Jahren insgesamt 541961,03€.  [Das 20. Glied der geometrischen Reihe gibt die Summe der  ersten 20 Jahresgehälter an.] 422. a. a n = 300000·1,02 n [Ein Zinssatz von 2% bedeutet, dass das Kapital nach jedem Jahr mit dem Faktor q = 1,02 multipliziert wird. Nach einem Jahr erhält man 300000·1,02 = 306000€, also ist a 1 = 306000 und somit a n = 306000·1,02 n – 1 bzw. a n = 300000·1,02 n .] b.  (306000; 312120; 318362,40; 324729,648)  [(300000·1,02; 300000·1,02 2 ; 300000·1,02 3 ; 300000·1,02 4 ) = = (306000; 312120; 318362,40; 324729,648)] 423.  15 Jahre 8 Monate 29 Tage  [500000·1,045 n = 1000000 w 1,045 n = 2 w n = ln(2) __ ln(1,045)  = 15,747 Jahre = 15 Jahre 8 Monate 29 Tage] 424. a. Zunächst heben wir 10000 heraus und erhalten E = 10000·(1,02 4 + 1,02 3 + 1,02 2 + 1,02 + 1). Wir bezeichnen die Summe in der Klammer mit s 5 = 1,02 4 + 1,02 3 + 1,02 2 + 1,02 + 1 s 5 ·1,02 = 1,02 5 + 1,02 4 + 1,02 3 + 1,02 2 + 1,02 s 5 ·1,02 – s 5 = (1,02 5 + 1,02 4 + 1,02 3 + 1,02 2 + 1,02) – – (1,02 4 + 1,02 3 + 1,02 2 + 1,02 + 1) s 5 ·(1,02 – 1) = 1,02 5 – 1 | : (1,02 – 1) s 5 = 1,02 5 – 1 __ 1,02 – 1 Also ist E = 10000· s 5 = 10000· 1,02 5 – 1 __ 1,02 – 1 . 425. 14421,51€ [q = 4 9 ____ 1,0125; n = 4·5 = 20; E = 700·  q 20 – 1 _ q – 1  = 14421,51€] 426. C 427. a.   16918,11€ [q =   12 9 ____ 1,0125; n = 10·12 = 120; B = 150·  q 120 – 1 _ q – 1 ·q ‒120 = = 16918,11€] b. Wenn Paula heute 16918,11€ auf ein Sparbuch mit 1,25% p.a. Verzinsung legt, so hat sie nach 10 Jahren den gleichen Endwert wie durch die nachschüssige Monatsrente angespart. 428. 54,04€ [q = 12 9 ___ 1,018; n = 3·12 = 36; E = 2000€  w R·q· q 36 – 1 _ q – 1 = 2000 w R = 2000 : 2 q· q 36 – 1 _ q – 1 3  = 54,04€] 429. 4873,95€ [q = 12 9 ____ 1,0225; n = 120; R = 524861·q 120 : 2 q· q 120 – 1 _ q – 1 3  = 4873,95€] 4 Schuldtilgung und Äquivalenzprinzip 4.1 Kreditraten 453. a. 1024,67€ [q = 4 9 ____ 1,035 2   ; n = 8·4 = 32  w R = 25000·q 32 : 2 q 32 – 1 _ q – 1 3  = 1024,67] b. Es ist R vor = R nach _ q = R nach · 1 _ q  ≈ R nach ·0,983. Daher ist die vorschüssi- ge Rate um 100% – 98,3% = 1,7% kleiner. 454. a. 38 Vollraten [q = 12 9 ____ 1,0575, wir müssen die folgende Gleichung lösen: 0 = 7000·q n – 200· q n – 1 _ q – 1 . Mit einer geeigneten Technologie  erhalten wir die Lösung n = 38,305. Es sind daher 38 Vollraten.] b. I. 60,83€, II. 61,12€ [Restschuld am Ende des 38. Monats: K 38 = 7000·q 38 – 200· q 38 – 1 _ q – 1 = 60,83€. Da die Raten nachschüssig bezahlt werden, entspricht dieser Betrag der Teilrate gemeinsam mit der letzten Vollrate. Ein Monat später sind 60,83·q = 61,12€ zu zahlen.] 455. a. 7 Vollraten [q = 4 9 ____ 1,0215, die Gleichung 0 = 18000·q n – 2500·q· q n – 1 _ q – 1 hat die Lösung n = 7,322. Es sind daher 7 Vollraten.] b. I. 801,17€, II. 805,44€ [Restguthaben am Ende des 7. Quartals: K 7 = 18000·q 7 – 2500·q· q 7 – 1 _ q – 1 = 805,44€. Da die Raten vorschüs- sig bezahlt werden, entspricht dieser Betrag der Teilrate ein Monat nach der letzten Vollrate. Am Beginn des Monats wäre die Teilrate gemeinsam mit der letzten Vollrate 805,44 _ q  = 801,17€.] 4.2 Vergleich von Zahlungen 493. a. b. das der Firma Schöngelebt [Wohngesund: B = 500000 + 2000000 __ 1,05 2  = 2314058,96€.  Schöngelebt: B = 900000 + 1500000 __ 1,05  = 2328571,43€]  494. 3090,57€  [Der Barwert der Monatsrente mit q = 12 9 ___ 1,015 und n = 6·12 = 72 ist B = 350· q 72 – 1 _ q – 1 · 1 _ q 72  = 24092,25€. Das ist auch der Barwert der neuen  Rente mit q = 9 ___ 1,015 und n = 4·2 = 8. Nach Umformen erhalten wir R = 24092,25·q 8 : 2 q· q 8 – 1 _ q – 1 3  = 3090,57.] 495. a. Zeit in Wochen Verkaufte Exemplare in Mio. 4 2 0 8 12 16 6 10 14 18 20 1 0 4 5 2 3 N Jahre 1 2 0 €500.000 €2.000.000 Firma Wohngesund: Jahre 1 2 0 €900.000 €1.500.000 Firma Schöngelebt: Jahre 4 5 6 7 3 2 1 0 €3.000 €3.000 (20 vorsch. Quartalsraten) R R (84 vorschüssige Monatsraten) Rente 1 Rente 2 Nur zu Prüfzwecken 4 – Eigentum des Verlags öbv