Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

182 Anhang 285. Zinsen: 8,89€; Guthaben: 1758,89€ Datum Einzahlung Guthaben Tage bis zur nächsten Einzahlung/Ende 15.6. 1500€ 1500€ 15 + 3·30 + 2 = 107 2.10. 1000€ 2500€ 28 + 8 = 36 8.11. ‒750€ 1750€ 22 + 30 = 52 [Zinsen: 1500· 107 _ 360 ·0,0125 + 2500· 36 _ 360 ·0,0125 + 1750· 52 _ 360 ·0,0125 = 11,85€; KEST: 11,85€·0,25 = 2,96€; 11,85 – 2,96 = 8,89€; Guthaben: 1750 + 8,89 = 1758,89€] 286. a. 4,594% p.a. 4 4,5% _ 12 = 0,375% p.m.; 1,00375 12 = 1,04594 5 b. 4,577% p.a. 4 4,5% _ 4 = 1,125% p.q.; 1,01125 4 = 1,04577 5 c. 4,551% p.a. 4 4,5% _ 2 = 2,25% p.s.; 1,0225 2 = 1,04551 5 287. 31 Jahre, 10 Monate, 26 Tage [2000 ·1,00175 n = 2500 n = ln 2 2500 _ 2000 3 __ ln(1,00175) = 127,622 Quartale 127,622 : 4 = 31,906 Jahre = 31 Jahre, 10 Monate, 26 Tage] 288. 94205,50€ [5·360 + 7·30 + 23 = 2033 Tage = 2033 _ 360 Jahre = = 2033 _ 90 Quartale; 1,825% _ 4 = 0,45625% p.q.; 85000·1,0045625 2033 _ 90 = = 94205,50] 289. a. 10304,54€ [10000·e 0,015·2 = 10304,54] b. 1,511% [q = e 0,015 = 1,01511 w i = 1,511%] 3 Rentenrechnung 3.1 Zahlungsströme 326. a. Montag, Sonntag b. Freitag c. 113,80€ 327. a. b. 328. a. 8582,48€ [q = 1,0275 w E = 2 q 5 + 1300q 4 – 1 2 + + 5800q = 8582,48] b. 7493,83€ 4 B = 2 300q ‒1 – 1600 = 7493,83€ = 8582,48 __ q 5 5 3.2 Grundlagen der Rentenrechnung 394. a. 2430,11€ [0,75·0,85% = 0,6375 9 _____ 1,006375; n = 4·12 = 48; E = 50· q b. Er hat 4·12 = 48-mal 50€ eingezahlt, also insgesamt 2400€. Da der Endwert 2 € beträgt, hat sich das Geld auf dem Sparbuch um 30,11€ vermehrt. c. Der Barwert ist jener Betrag, der nach 4 Jahren auf dem Spar- buch zum selben Endwert führt wie die monatlichen Raten- zahlungen. B = 2369,13€ [B = E _ q n = = 2430,11 _ q 48 = 2369,13] 395. Ein höherer Zinssatz führt dazu, dass beim Abzinsen die einzelnen Raten jeweils durch eine größere Zahl dividiert werden. Dadurch werden die Barwerte der einzelnen Raten kleiner und daher auch der Barwert der gesamten Rente. 396. B 397. 64,18€ [Der Endwert muss 4000€ betragen. Es ist q = 12 9 ___ 1,015 und n = 5·12 = 60. R·q· q 60 – 1 _ q – 1 = 4000 w R = 4000: 2 q· q 60 – 1 _ q – 1 3 = 64,18] Was habe ich in diesem Semester gelernt? – 5. Semester Funktionale Zusammenhänge 406. B , D A kann nicht Graph einer Exponentialfunktion sein, denn es gibt negative Funktionswerte. C kann nicht Graph einer Exponentialfunktion sein, denn es gibt negative Funktionswerte. 407. B , C , E [ A ist falsch, denn a > b würde bedeuten, dass f(1) > g(1) ist, was nicht der Fall ist. B ist richtig, denn mit c = 1 _ a ist c x = 2 1 _ a 3 x = a ‒x . Also ist h(x) = f(‒x) und der Funktionsgraph wird an der y-Achse gespiegelt. C ist richtig, denn g(1) = 3 1 = 3. D ist falsch, denn mit a < 1müsste der Graph von f mit f(x) = a x streng monoton fallend sein. E ist richtig, denn h(1) = 1.] 408. a. D b. B 409. 410. a. E(t) = 3,5·1,02 [Eine Zunahme um 2% entspricht einem Wachstumsfaktor von 1,02. E(0) 3,5 Millionen] b. 4,27 Millionen Einwohner/innen [E(10) = 3,5·1,02 10 ≈ 4,27] c. 18 Jahre [Löse die Gleichung 3,5·1,02 t = 5 w t = 18,0115 ≈ 18.] d. Weil auf lange Sicht die Funktionswerte von E über alle Schran- ken wachsen würden. In keinem Land ist aber unbeschränkt viel Platz. 411. Die Halbwertszeit ist bei einem exponentiellen Zerfall jene Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Ausgangsgröße vorhanden ist. Die Verdoppelungszeit ist beim exponentiellen Wachstum jene Zeit, nach der sich die Ausgangsgröße verdoppelt hat. 412. a. G mit G(t) = 100·0,97 t [Der Ausgangswert ist 100%. Eine Abnahme um 3% bedeutet, dass das Geld nach einem Jahr nur noch 97% seines ursprünglichen Wertes besitzt. Daher ist der Wachstumsfaktor 0,97 und G(t) = 100·0,97 t .] b. 22,76 Jahre [Die Gleichung 100·0,97 t = 100 _ 2 hat die Lösung t = ln(0,5) _ ln(0,97) = 22,76.] 413. a. ca. 392 Milliarden Euro [2020 ist 5 Jahre nach 2015. Die Staatsverschuldung in Milliarden ist dann voraussichtlich 293·1,06 5 = 392,1 ≈ 392.] b. Unter diesen Voraussetzungen werden die Staatsschulden vor- aussichtlich im Jahr 2036 1 Billion Euro betragen. Also wirst du es wahrscheinlich miterleben. [1 Billion = 1000 Milliarden. Die Gleichung 293·1,06 x = 1000 hat die Lösung x = 21,0675. Die Staatsverschuldung wird demnach voraussichtlich im Jahr 2015 + 21 = 2036 1 Billion Euro betragen.] 414. a. N(t) = 5000000 ___ 1 + 39999·0,4464147 t [K = 5000000; N(0) = 125 w 5000000 __ 1 + c·a 0 = 125 w c = 39999; N(1) = 280 w 5000000 __ 1 + 39999·a 1 = 280 w a = 5000000 – 280 __ 39999·280 ≈ 0,4464147] b. 342000 Exemplare [N(10) = 5000000 ___ 1 + 40000·0,45 10 = 341991,38] Jahre 4 5 3 2 1 0 - €15.000 €3.300 €3.300 €3.300 €3.300 €3.300 Jahre 4 5 3 2 1 0 €15.000 - €3.300 - €3.300 - €3.300 - €3.300 - €3.300 Zeit in Stunden Koffein in mg 0 1 0,5 2 3 4 5 6 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 40 50 60 0 Nur 500 + 1 bzw. kurz: B zu 500 Prüfzwecken c < 10 20 30 – Eigentum 600q q ‒3 + 5800q ‒4 = % w q = 12 48 – 1 _ q – 1 = 2430,11] 430,11 des Verlags t = öbv