Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

181 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 1 Exponential- und Logarithmusfunktionen 1.1 Exponentialfunktionen 43. B , C , D , E 44. a. B b. C c. A d. D 45. a = 0,4; c = 36; f(x) = 36·0,4 x [Aus I) c·a ‒2 = 225 und II) c·a 3 = 2,304 folgt c·a 3 _ c·a ‒2 = 2,304 _ 225 w a 5 = 0,01024 w a = 5 9 ____ 0,01024 = 0,4. Einsetzen in I) liefert c·0,4 ‒2 = 225 w c = 225 _ 0,4 ‒2  = 36.] 46. a. f(x) = 3 x = e 1,0986x    [ln(3) = 1,0986] b. f(x) = 1,08 x = e 0,077x   [ln(1,08) = 0,077] c. f(x) = 0,7 x = e ‒0,3567x   [ln(0,7) = ‒0,3567] d. f(x) = 0,14 x = e ‒1,9661x   [ln(0,14) = ‒1,9661] 47. a. B [e ‒0,5  = 0,6065]   b. D [e 4  = 54,5982] 1.2 Logarithmusfunktionen 60. a. D b. A 61. 1.3 Wachstums- und Abnahmeprozesse 125. a. D c. B e. D g. A b. B d. C f. B h. C 126. ca. 300 Jahre [100·0,5 t _ 30 = 0,1 w t = 30· ln(0,001) __ ln(0,5)  = 296,87 ≈ 300] 127. a.   N(t) Menschen auf der Insel in t Jahren;  N(t) = 3025·1,04307 t bzw. N(t) = 3025·e 0,04217t [2450·q 5 = 3025 w q = 5 9 ___ 3025 _ 2450   ≈ 1,04307; N 0  = 3025;  N(t) = 3025·1,04307 t ;  λ  = ln(1,04307) ≈ 0,04217 w N(t) = 3025· e 0,04217t ] b.  um 3,7%; in 2,8 Jahren [Die Bevölkerungszahl wächst jährlich  um 3,7%. 6321·1,037 t = 7000 w t = ln 2 7000 _ 6321 3 __ ln(1,037)  = 2,808] 128. a.   a ≈ 0,2490 [Nach 3 Stunden haben 60 Personen von dem  Gerücht gehört, also ist p(3) = 60. 800 __ 1 + 799a 3  = 60      | ·(1 + 799a 3 )  800 = 60 + 47940a 3  | – 60, : 47940 740 _ 47940 = a 3 | 3 9 _ a = 3 9 ___ 740 _ 47940   ≈ 0,2490] b. ca. 450 Personen [p(5) = 800 __ 1 + 799·0,25  5  ≈ 449,37] c. ca. 5 Stunden und 36 Minuten 4 3 _ 4 von 800 sind 600. Es ist daher folgende Gleichung zu lösen: 800 __ 1 + 799·0,25  t = 600 t = ln 2 200 _ 479400 3 __ ln(0,25)  ≈ 5,6] 129. a.   h(t) Höhe der Kerze in cm nach t Minuten; h mit h(t) = 35 – 0,05·t [h(t) = h 0 + k·t mit h 0  = 35; In 700min ist die Kerze  abgebrannt w pro Minute wird sie um 35 _ 700 = 0,05cm kürzer w k = ‒0,05; h(t) = 35 – 0,05t] b. 600min (= 10 Stunden) 4 35 – 0,05t = 5 w t = 30 _ 0,05 = 600 5 2 Zins- und Zinseszinsrechnung 2.1 Endliche geometrische Reihen und endliche geometrische Folgen 175. 2 3, 4, 16 _ 3 3 ist eine geometrische Folge. (3, 7, 12);   2 3, 7, 37 _ 3 3 [Wir bilden die Quotienten von je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der endlichen Folge: 4 _ 3  ≠   5 _ 4 , also ist (3, 4, 5) keine endliche geometrische Folge. 4 _ 3 = 16 _ 3 _ 4 , also ist 2 3, 4, 16 _ 3 3 eine endliche geometrische Folge. Die beiden Reihen sind (3, 3 + 4, 3 + 4 + 5) = (3, 7, 12) und 2 3, 3 + 4, 3 + 4 + 16 _ 3 3 = 2 3, 7, 37 _ 3 3  .] 176. a. (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640) b. (5, 15, 35, 75, 155, 315, 635, 1275) 177. a n = 16·1,5 n – 1 [Das Anfangsglied ist 16. Den Quotienten erhalten wir zum Beispiel aus q = a 2 _ a 1 = 24 _ 16  = 1,5.] 178. Die Summanden bilden eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied 5 und dem Quotienten 3. Es sind 8 Summanden, daher ist die Summe 5· 3 8 – 1 _ 3 – 1 = 16400. 179. a. 103,6 Minuten [30·1,10 13  = 103,6] b. ca. 14 Stunden 4 30· 1,1 14 – 1 _ 1,1 – 1  = 839,25 Minuten = 13,987 Stunden  5 180. a. (20300; 21315; 22380,75; 23499,79) b. 255331,22 4 20300· 1,05 10 – 1 __ 1,05 – 1 = 255331,22 5 c. Frau Novakovic verdient in den ersten 10 Dienstjahren insgesamt 255331,22€ netto. 2.2 Zinseszinsrechnung 225. 4250€ 4 K 0 = 4737,14 _ 1,0275 4 = 4250,00 5 226. 5 Jahre, 6 Monate und 20 Tage [2800·1,0125 n = 3000 | : 2800 1,0125 n = 3000 _ 2800 | logarithmieren n·ln(1,0125) = ln 2 3000 _ 2800 3 | : ln(1,0125) n = ln 2 3000 _ 2800 3 __ ln 2 1,0125 3  = 5,554 Jahre] 227. 1,85% p.a. 4 15000·q 4 = 16141,18 w q = 4 9 ____ 16141,18 __ 15000 = 1,0185 5 228. a. C b. B 229. a. 18183,75€ 4 18000· 2 1 + 0,0175· 7 _ 12 3 = 18183,75 5 b. 18183,08€ 4 18000·1,0175 7 _ 12 = 18183,08 5 230. a.   1918,40€  [2 Monate und 5 Tage = 2·30 + 5 = 65 Tage = = 65 _ 360  Jahre; 500000·0,02125·  65 _ 360  = 1918,40] b. 1901,91€  [500000·1,02125  65 _ 360  = 501901,91;  501901,91 – 500000 = 1901,91] 2.3 Anwendungen im Bankwesen 283. a. 4598,19€  [4000·1,0235 6  = 4598,19] b. 4442,08€  [2,35%·0,75 = 1,7625%; 4000·1,017625 6  = 4442,08] c. 156,11€  [4598,19 – 4442,08 = 156,11] 284. 121116,37€  [1,95%·0,75 = 1,4625%; 7 Monate und 19 Tage = = 229 _ 360  Jahre; 120000· 2 1 + 0,014625· 229 _ 360 3  = 121116,37] x 3 x ‒3 0,037 ‒2 0,111 ‒1 0,333 0 1,000 1 3,000 2 9,000 x y 0 - 4 4 8 - 4 4 8 f f -1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags 1 öbv .