Mathematik anwenden HUM 3, Schulbuch

145 Geometrisches Mittel Ein Betrieb hat drei gute Jahre hinter sich. Im ersten Jahr hat er seinen Umsatz um 7%, im zweiten Jahr um 14% und im dritten Jahr um 11% gesteigert. Nennen wir den Umsatz vor drei JahrenU, dann war der Umsatz nach dem ersten Jahr 1,07·U, nach dem zweiten Jahr 1,14·1,07·U = 1,220·U und nach dem dritten Jahr 1,11·1,14·1,07·U = 1,354·U. Die Zahlen 1,07, 1,14 und 1,11 heißen die Wachstumsfaktoren des Umsatzes. Wie groß hätte der Wachstumsfaktor z jedes Jahr sein müssen, wenn er jedes Jahr gleich gewesen wäre und nach drei Jahren zum selben Ergebnis geführt hätte? Diese Zahl z nennen wir den mittleren Wachstumsfaktor . Wir suchen also eine Zahl z so, dass z·z·z·U = 1,354·U ist, also muss z = 3 9 ___ 1,357 ≈ 1,11  sein. Der Umsatz hätte sich jedes Jahr um ca. 11% steigern müssen. Wir erhalten eine neue Art von Mittelwert: das geometrische Mittel Sind x 1 , …, x n die Werte des Merkmals x, dann ist das geometrische Mittel von x die n-te Wurzel aus dem Produkt dieser Werte: n 9 _______ x 1 ·x 2 ·…·x n GeoGebra GeometrischerMittelwert [ <Liste von Zahlen> ] EXCEL = GEOMITTEL( Zahl1 ;  [Zahl2] ; …) ¥ 654 Der Wert einer Aktie ist in den letzten drei Tagen zuerst um 2,5% gestiegen, dann um 1,7% gefallen und schließlich wieder um 1,5% gestiegen. Berechne die mittlere Veränderung. Der Anstieg von 2,5% entspricht einem Wachstumsfaktor von 1,025. Die Abnahme von 1,7% entspricht einem Wachstumsfaktor von 0,983. Der Anstieg von 1,5% entspricht einem Wachstumsfaktor von 1,015. Das geometrische Mittel ist also 3 9 __________ 1,025·0,983·1,015 = 1,007506…  Der Wert der Aktie ist also im Mittel täglich um ca. 0,75% gestiegen. 655 Die Tabellen enthalten die jährliche Inflationsrate in Österreich in den Jahren 2005 bis 2014. Jahr Inflationsrate Jahr Inflationsrate 2005 2,3% 2010  1,9% 2006 1,5% 2011 3,3% 2007 2,2% 2012 2,4% 2008 3,2% 2013 2% 2009 0,5% 2014 1,7% a.  Berechne die durchschnittliche jährliche Inflationsrate in den Jahren 2005 bis 2009. b. Berechne die durchschnittliche jährliche Inflationsrate in den Jahren 2010 bis 2014. c. Interpretiere deine Ergebnisse dahingehend, ob die Inflationsrate in den Jahren 2010 bis 2014 im Vergleich zu den Jahren 2005 bis 2009 gestiegen oder zurückgegangen ist. 656 Die Tabelle gibt die Inflationsrate Chiles im Zeitraum von 2005 bis 2015 an. Jahr 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Inflationsrate in % 3,05 3,39 4,41 8,72 1,48 1,41 3,34 3,01 1,93 4,4 4,36 Berechne die durchschnittliche jährliche Inflationsrate in diesem Zeitraum. geometrisches Mittel geometrisches Mittel bestimmen ggb/xls ks65g9 B geometrisches Mittel berechnen ggb/xls g3s8j5 B, C , B, C , 5.2 Quantitative Merkmale Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv